Se f : ] -p/2, p/2 [ ? R é a função real de variável real definida por f(x) = e^(tgx), pode-se afirmar…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se f : ] -p/2, p/2 [ ? R é a função real de variável real definida por f(x) = e^(tgx), pode-se afirmar corretamente que a imagem ou conjunto de valores de f é o conjunto de todos os números (UECE 2019)
- A) reais.
- B) reais maiores do que zero e menores do que um.
- C) reais menores do que um.
- D) reais positivos.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Analise o domínio. Em x no intervalo ]-p/2, p/2[, a função tangente assume todos os valores reais, pois tg x cresce de menos infinito a mais infinito quando x percorre esse intervalo. Logo, o conjunto de valores de t = tg x é o conjunto dos reais. Passo 2: Analise a função exponencial. Para qualquer número real t, e^t é sempre positivo, e para todo número real positivo y existe t real com e^t = y (basta t = ln y). Portanto, f(x) = e^(tg x) assume exatamente os valores positivos, sem atingir zero nem valores negativos. Passo 3: Conclua. A imagem de f é o conjunto dos reais positivos, que corresponde à alternativa D, e esse é o gabarito oficial. Passo 4: Por que as outras estão erradas. A) Está errada porque f nunca assume valor zero nem negativo, pois e^t é sempre positivo. B) Está errada porque e^t não se limita ao intervalo entre 0 e 1; tg x assume valores positivos grandes, e então e^(tg x) ultrapassa 1. C) Está errada porque, pelo mesmo motivo, f assume valores maiores que 1 quando tg x é positivo, então não é limitada superiormente por 1.
💡 Dica: Analise o comportamento da função tangente e da exponencial para determinar a imagem.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que, como tg x assume todos os reais, a função f também assume todos os reais, esquecendo que a exponencial de qualquer número real é sempre positiva.
O aluno considera apenas valores negativos de tg x, em que e^t fica entre 0 e 1, e ignora que tg x também assume valores positivos, para os quais e^t é maior que 1.
O aluno acredita que a exponencial de um número real é sempre menor que 1, confundindo o comportamento de e^t para t negativo com o comportamento geral da função.
CORRETA. A função f(x) = e^(tg x) é sempre positiva, pois a exponencial é positiva para todo número real, e como a tangente varia em todo R no intervalo dado, a imagem é o conjunto dos reais positivos.
Raio-X da questão
imagem de função exponencial tangente
avaliacao
função tangente e seu domínio · função exponencial
estude propriedades da função tangente e da função exponencial
Confundir o domínio da tangente com o domínio da função composta, ou não reconhecer o comportamento da exponencial.
pensamento_critico
abstrato
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