MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT308Difícil⏱ medio

Seja f uma função a valores reais, com domínio D ? R, tal que f(x) = log10[log1/3(x² - x + 1)], para todo x ?…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Seja f uma função a valores reais, com domínio D ? R, tal que f(x) = log10[log1/3(x² - x + 1)], para todo x ? D. [IMAGEM] O conjunto que pode ser o domínio D é [FUVEST 2013 - Questão 31] FUVEST - 2013

A) {x ? R ; 0 < x < 1}
B) {x ? R ; x = 0 ou x = 1}
C) {x ? R ; 1/3 < x < 10}
D) {x ? R ; x = 1/3 ou x = 10}
E) {x ? R ; 1/9 < x < 10/3}

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Para que f(x) seja real, duas condições precisam valer. A expressão de dentro do logaritmo de base 1/3 deve ser positiva, e o resultado desse logaritmo deve ser positivo, porque ele é o argumento do log10. Passo 2: O trinômio x^2 - x + 1 tem discriminante -3, que é negativo, e o coeficiente de x^2 é positivo. Logo x^2 - x + 1 é sempre positivo, e essa condição não restringe x. Passo 3: Como a base 1/3 está entre 0 e 1, o logaritmo log na base 1/3 de u é positivo somente quando 0 < u < 1. Passo 4: Assim, é preciso que x^2 - x + 1 < 1, ou seja, x^2 - x < 0. Passo 5: Fatorando, x(x - 1) < 0, o que vale para 0 < x < 1. Passo 6: Portanto o domínio é o conjunto de x reais com 0 < x < 1, que é a alternativa A. Passo 7: Verificação das demais. A alternativa B está errada porque, em x = 0 e x = 1, o logaritmo na base 1/3 vale zero e o log10 de zero não existe. A alternativa C está errada porque inclui valores como x = 5, que tornam o logaritmo na base 1/3 negativo. A alternativa D está errada porque x = 1/3 e x = 10 não são pontos válidos para a condição. A alternativa E está errada porque inclui valores como x = 2, que tornam x^2 - x + 1 maior que 1.

💡 Dica: Analise as condições de existência dos logaritmos para determinar o domínio.

Alternativa por alternativa

A Correta

Incorreta. O logaritmo interno não é definido para 0 < x < 1.

B Erradaerro: Conceitual

O aluno resolveu a igualdade x^2 - x = 0 em vez da desigualdade e não percebeu que nos extremos o logaritmo na base 1/3 vale zero, cujo log10 não é definido.

C Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

O aluno tomou como limites do domínio os números 1/3 e 10 que aparecem no enunciado, sem fazer a análise da base 1/3 e da condição de positividade do logaritmo.

Por que engana: O aluno pode confundir as condições de existência da função logarítmica, não considerando que o argumento deve ser positivo.

D Erradaerro: Interpretação

O aluno tratou os números 1/3 e 10 como soluções pontuais de uma equação, em vez de procurar o intervalo de valores de x que satisfaz as condições de existência do logaritmo.

E Erradaerro: Procedimental

O aluno inverteu o sentido da desigualdade ao lidar com o logaritmo de base 1/3 e obteve limites errados, como 1/9 e 10/3, em vez de 0 e 1.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

domínio de função logarítmica

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

domínio de função logarítmica · propriedades de logaritmos

📚 Reveja

Revisar propriedades e domínio de funções logarítmicas compostas.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as condições de existência da função logarítmica, não considerando que o argumento deve ser positivo.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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