Quantos são os valores inteiros que o número real k pode assumir, de modo que as raízes da equação x² - 3x + k…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Quantos são os valores inteiros que o número real k pode assumir, de modo que as raízes da equação x² - 3x + k = 0 sejam reais não nulas e de sinais contrários, e que a equação x² + kx + 1 = 0 não tenha raízes reais? (UECE 2019)
- A) 3.
- B) 1.
- C) 0.
- D) 2.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Para a equação x² - 3x + k = 0 ter raízes reais, o discriminante precisa ser não negativo: 9 - 4k ≥ 0, ou seja, k ≤ 9/4. Passo 2: Pelas relações de Girard, o produto das raízes é k. Para que as raízes sejam não nulas e de sinais contrários, o produto precisa ser negativo, então k < 0. Como k < 0 já implica k < 9/4, a primeira condição fica resumida a k < 0. Passo 3: Para a equação x² + kx + 1 = 0 não ter raízes reais, o discriminante precisa ser negativo: k² - 4 < 0, ou seja, -2 < k < 2. Passo 4: A intersecção das duas condições é -2 < k < 0. Passo 5: O único valor inteiro nesse intervalo é k = -1. Logo, há 1 valor inteiro possível, e a alternativa correta é a B. O gabarito oficial está correto. Alternativa A (3) está errada, pois os inteiros -2, -1 e 0 não satisfazem simultaneamente as condições: k = -2 é excluído porque k² - 4 = 0 dá raiz real, e k = 0 é excluído porque uma das raízes seria nula. Alternativa C (0) está errada, pois k = -1 satisfaz todas as condições. Alternativa D (2) está errada, pois k = 0 não serve, já que anularia uma raiz da primeira equação.
💡 Dica: Analise as condições para as raízes das equações e use discriminantes.
Alternativa por alternativa
Considerou o intervalo fechado -2 ≤ k ≤ 0, incluindo os extremos. Esqueceu que o discriminante da segunda equação precisa ser estritamente negativo e que k = 0 anula uma raiz.
CORRETA. Apenas um valor inteiro de k satisfaz simultaneamente as condições de raízes reais não nulas e de sinais contrários na primeira equação, e a ausência de raízes reais na segunda.
Acreditou que a primeira equação deve ter discriminante negativo (sem raízes reais), o que é o contrário da exigência de raízes reais. Com isso, obteve intervalo vazio na intersecção.
Contou k = -1 e k = 0, esquecendo que as raízes precisam ser não nulas. Assim, k = 0 foi aceito indevidamente, pois daria produto zero e uma raiz nula.
Raio-X da questão
raízes reais, sinais contrários, discriminante
avaliacao
equação quadrática · discriminante da equação
Estude discriminante e propriedades das raízes de equações quadráticas.
Confundir as condições para raízes reais e sinais contrários, ou esquecer de verificar todas as condições simultaneamente.
pensamento_critico
abstrato
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