A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x² + (1+5m-3m²)x + (m²+1) = 0 é igual a [FUVEST…

Questão

A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x² + (1+5m-3m²)x + (m²+1) = 0 é igual a [FUVEST 2008 - Questão 35] FUVEST - 2008

1. A) 5/2
2. B) 3/2
3. C) 2
4. D) 3/2
5. E) 5/2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Substituímos x = 1 na equação x² + (1+5m-3m²)x + (m²+1) = 0. Obtemos 1 + (1+5m-3m²) + (m²+1) = 0, que simplifica para 3 + 5m - 2m² = 0, ou seja, 2m² - 5m - 3 = 0. Passo 2: Resolvemos por Bháskara: Δ = 25 + 24 = 49, e m = (5 ± 7)/4, logo m = 3 ou m = -1/2. Passo 3: Conferimos: para m = 3, a equação fica x² - 35x + 10 = 0 e 1 - 35 + 10 ≠ 0, então a conta deve ser refeita com cuidado; na verdade, substituindo m = 3 em 1+5m-3m² obtemos 1 + 15 - 27 = -11 e em m²+1 obtemos 10, logo 1 - 11 + 10 = 0, o que confirma a raiz. Para m = -1/2, 1+5m-3m² = 1 - 5/2 - 3/4 = -9/4 e m²+1 = 5/4, logo 1 - 9/4 + 5/4 = 0, o que também confirma. Passo 4: A soma dos valores de m é 3 + (-1/2) = 5/2, que é a alternativa A, de acordo com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: B (3/2) seria o resultado de tomar o produto das raízes (-3/2) e ignorar o sinal, o que não corresponde à soma pedida; C (2) não é resultado de nenhum passo correto da resolução; D (3/2) repete o valor de B, com o mesmo erro; E (5/2) tem o mesmo valor de A, então esta alternativa está correta numericamente e a questão apresenta duas opções equivalentes, o que é um defeito da prova. Observação: como A e E têm o mesmo valor, a banca deveria anular a questão ou aceitar ambas; mantemos A por ser o gabarito oficial.

💡 Dica: Substitua x=1 na equação e resolva para m.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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