Se as equações x² - 6x + k = 0 e x² - 2x + 1 = 0 admitem uma raiz comum, então, o valor de k é (UECE 2012)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se as equações x² - 6x + k = 0 e x² - 2x + 1 = 0 admitem uma raiz comum, então, o valor de k é (UECE 2012)
- A) 2.
- B) 3.
- C) 4.
- D) 5.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Resolva a segunda equação, x^2 - 2x + 1 = 0. Ela é um trinômio quadrado perfeito: (x - 1)^2 = 0, logo x = 1 é raiz dupla e é a única raiz dessa equação.
- Como as equações têm uma raiz comum, essa raiz só pode ser x = 1, pois é a única raiz da segunda equação.
- Substitua x = 1 na primeira equação: 1^2 - 6 * 1 + k = 0, ou seja, 1 - 6 + k = 0, então k = 5.
- Conferindo, para k = 5 a primeira equação fica x^2 - 6x + 5 = 0, cujas raízes são 1 e 5. Assim x = 1 é de fato raiz comum às duas equações.
- Portanto a alternativa correta é a D, k = 5, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque k = 2 não faz x = 1 zerar a primeira equação (1 - 6 + 2 = -3). A alternativa B está errada porque k = 3 resulta em -2, não em zero. A alternativa C está errada porque k = 4 resulta em -1, não em zero.
💡 Dica: Use a condição de raiz comum para igualar as equações e encontrar k.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente não encontrou a raiz comum corretamente e tentou ajustar k por um cálculo sem base, como igualar coeficientes das equações entre si, sem substituir a raiz x = 1 na primeira equação.
O aluno provavelmente tomou x = 3 (resultado de 6 dividido por 2) como raiz comum, o que não zera a segunda equação, pois 9 - 6 + 1 = 4.
O aluno provavelmente confundiu a raiz dupla da segunda equação com um valor diferente de 1 ou errou o cálculo ao substituir x = 1 na primeira equação, obtendo 1 - 6 + k = 0 com sinal trocado ou aritmética incorreta.
CORRETA. O valor k = 5 faz com que as duas equações tenham a raiz x = 1 em comum, pois substituindo x = 1 na primeira equação, temos 1 - 6 + 5 = 0.
Raio-X da questão
raízes comuns em equações quadráticas
diagnostico
equações quadráticas · raízes de polinômios
Estude como encontrar raízes comuns entre equações quadráticas.
Confundir as condições para raízes comuns e calcular k incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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