Dado que as raízes da equação x³ - 3x² - x + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado que as raízes da equação x³ - 3x² - x + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, o valor de k é: UNESP - 2012
- A) - 5.
- B) - 3.
- C) 0.
- D) 3.
- E) 5.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame as raízes em progressão aritmética de a - d, a e a + d. Pelas relações de Girard para x^3 - 3x^2 - x + k = 0, a soma das raízes é 3, a soma dos produtos dois a dois é -1 e o produto das raízes é -k. Passo 2: Da soma: (a - d) + a + (a + d) = 3a = 3, logo a = 1. Passo 3: Da soma dos produtos dois a dois: (a - d)a + a(a + d) + (a - d)(a + d) = 3a^2 - d^2 = -1. Com a = 1, temos 3 - d^2 = -1, então d^2 = 4 e d = 2 ou d = -2. Passo 4: As raízes são -1, 1 e 3 (ou 3, 1 e -1 na outra ordem). Passo 5: O produto das raízes é (-1)(1)(3) = -3. Como o produto é -k, temos -k = -3, logo k = 3. Passo 6: Verificação: (x - 3)(x^2 - 1) = x^3 - 3x^2 - x + 3, que corresponde à equação com k = 3. Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (-5) não é compatível com o produto das raízes obtido; a alternativa B (-3) confunde o produto das raízes com o próprio k, esquecendo o sinal da relação -k; a alternativa C (0) exigiria uma raiz nula, o que não ocorre na progressão encontrada; a alternativa E (5) não corresponde ao produto -1 x 1 x 3 das raízes em progressão.
💡 Dica: Use as propriedades das raízes e a condição de progressão aritmética para formar equações e encontrar k.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou o produto das raízes corretamente, mas trocou o sinal na relação com k, ou escolheu uma progressão de raízes com valores errados.
Igualou o produto das raízes (-3) diretamente a k, esquecendo que nas relações de Girard para um polinômio de grau 3 com termo constante k o produto das raízes é -k.
Por que engana: Confundir a condição de progressão aritmética das raízes ou esquecer de aplicar as relações de Viète corretamente.
Acredita que k deve ser zero, possivelmente supondo que uma das raízes é nula ou que o termo independente se anula por simetria, sem resolver o sistema das relações de Girard.
Com k = 3, seja as raízes em P.A.: (r - d), r, (r + d). Pela soma das raízes: (r - d) + r + (r + d) = 3r = 3 ? r = 1. Produto das três: (1-d) * 1 * (1+d) = 1 - d² = -k, ou seja, k = d² - 1. A soma dos produtos dois a dois: (1-d)(1) + (1-d)(1+d) + 1(1+d) = (1-d) + (1-d²) + (1+d) = 3 - d². Mas pela relação de Girard, essa soma deve ser igual a -1, então 3 - d² = -1 ? d² = 4 ? d = 2 ou d = -2. Logo, k = d² - 1 = 4 - 1 = 3. Portanto, o único valor possível de k é 3.
Provavelmente errou o cálculo da razão da progressão ou o produto das raízes, chegando a valores de raízes que não satisfazem as relações de soma e soma dos produtos dois a dois.
Raio-X da questão
raízes, progressão aritmética, equação cúbica
avaliacao
progressão aritmética · relações de Viète
Estude progressão aritmética e relações entre coeficientes e raízes de equações polinomiais.
Confundir a condição de progressão aritmética das raízes ou esquecer de aplicar as relações de Viète corretamente.
pensamento_critico
abstrato
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