O valor da soma sen(x) + sen(x + p) + sen(x + 2p) + sen(x + 3p) + · · · · + sen(x + np), onde n é um número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O valor da soma sen(x) + sen(x + p) + sen(x + 2p) + sen(x + 3p) + · · · · + sen(x + np), onde n é um número natural par e menor do que 100 é (UECE 2018)
- A) sen(x).
- B) cos(x).
- C) 0.
- D) 1.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Considerei que p é o número pi (π), pois é a única leitura que faz sentido para a questão. Assim, cada termo tem a forma sen(x + kπ), com k indo de 0 até n.
- Use a identidade de redução sen(a + kπ) = (-1)^k · sen(a). Para k par, sen(x + kπ) = sen(x). Para k ímpar, sen(x + kπ) = -sen(x).
- Logo, a soma fica sen(x) · (1 - 1 + 1 - 1 + ... ), com os termos de k = 0 até k = n.
- Como n é par, o número de termos é n + 1, que é ímpar. A sequência de sinais começa em +1 e termina em +1 (k = n é par). Agrupando os termos em pares consecutivos, cada par (1 - 1) soma zero, e sobra exatamente o primeiro termo, sen(x).
- Portanto a soma vale sen(x), o que corresponde à alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B) cos(x) não aparece, pois a redução de seno por múltiplos de π não gera cosseno. C) 0 só ocorreria se o número de termos fosse par, mas com n par há um termo a mais. D) 1 é um valor numérico, e a soma depende de x, então não pode ser constante.
💡 Dica: Use a fórmula da soma de senos em progressão aritmética.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A soma dos termos pode ser agrupada em pares do tipo sen(x) + sen(x + π), que se anulam, mas como n é par e menor que 100, sobra um termo sen(x), resultando na soma igual a sen(x).
O aluno acredita que deslocar o seno por π transforma a função em cosseno, confundindo a fase de π com a de π/2.
O aluno percebe que os termos se anulam em pares, mas esquece que n é par e, portanto, há um termo sobrando, achando que a soma inteira zera.
O aluno confunde a soma de senos com um valor numérico constante, ignorando que a expressão depende de x.
Raio-X da questão
soma de senos em progressão
avaliacao
funções trigonométricas básicas · progressão aritmética
Estude progressões aritméticas e soma de funções trigonométricas.
Confundir a soma de senos com soma aritmética simples, ignorando propriedades trigonométricas.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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