A sequência (a_n) = (0, 0, 5, 5, 0, ...), em que n ? IN, é definida por: a_1 = a_2 = 0 a_3 = 5 a_n = x, sendo…

Questão

A sequência (a_n) = (0, 0, 5, 5, 0, ...), em que n ? IN, é definida por: a_1 = a_2 = 0 a_3 = 5 a_n = x, sendo x o algarismo da unidade simples da soma a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} A soma dos 100 primeiros elementos da sequência (a_n) é igual a: (UERJ 2024)

1. A) 125
2. B) 175
3. C) 200
4. D) 250

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Calculo os primeiros termos aplicando a regra, em que cada termo novo e o algarismo das unidades da soma dos tres anteriores. a1 = 0, a2 = 0, a3 = 5. Para a4: 5 + 0 + 0 = 5, logo a4 = 5. Para a5: 5 + 5 + 0 = 10, logo a5 = 0. Para a6: 0 + 5 + 5 = 10, logo a6 = 0. Para a7: 0 + 0 + 5 = 5, logo a7 = 5. Para a8: 5 + 0 + 0 = 5, logo a8 = 5.
2. Observo que a partir de a5 os valores (a5, a6, a7, a8) = (0, 0, 5, 5) repetem exatamente os valores de (a1, a2, a3, a4) = (0, 0, 5, 5). Como cada termo depende apenas dos tres anteriores, quando um bloco de tres termos consecutivos se repete, a sequencia inteira se repete. Portanto a sequencia e periodica com periodo 4: 0, 0, 5, 5, 0, 0, 5, 5, ...
3. Soma de um periodo: 0 + 0 + 5 + 5 = 10. Como 100 = 25 x 4, os 100 primeiros termos sao formados por 25 periodos completos. Soma total: 25 x 10 = 250.
4. Conclusao: a alternativa correta e a D (250), que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (125) esta errada porque ignora que os 5 aparecem em dois termos por periodo, nao em um. A alternativa B (175) esta errada porque nao corresponde a nenhum numero de periodos completos da sequencia. A alternativa C (200) esta errada porque supoe uma media de 2 por termo, o que nao reflete a contagem real dos periodos.

💡 Dica: Calcule os termos da sequência usando a definição e some os 100 primeiros elementos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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