A soma dos elementos do conjunto formado por todas as soluções, no intervalo [0,2p], da equação 2sen4(x) -…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma dos elementos do conjunto formado por todas as soluções, no intervalo [0,2p], da equação 2sen4(x) - 3sen²(x) + 1 = 0 é igual a (UECE 2017)
- A) 3 π.
- B) 4 π.
- C) 5 π.
- D) 6 π.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Faça a substituição u = sen^2(x). A equação 2sen^4(x) - 3sen^2(x) + 1 = 0 vira 2u^2 - 3u + 1 = 0. Passo 2: Resolva a equação do segundo grau: o discriminante é 9 - 8 = 1, logo u = (3 ± 1)/4, ou seja, u = 1 ou u = 1/2. Passo 3: Volte para x. Se sen^2(x) = 1, então sen(x) = 1 ou sen(x) = -1, o que dá x = π/2 e x = 3π/2 no intervalo [0, 2π]. Passo 4: Se sen^2(x) = 1/2, então sen(x) = √2/2 ou sen(x) = -√2/2, o que dá x = π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4. Passo 5: O conjunto solução é {π/4, π/2, 3π/4, 5π/4, 3π/2, 7π/4}. Passo 6: Some os elementos agrupando pares que somam 2π: π/4 + 7π/4 = 2π, 3π/4 + 5π/4 = 2π e π/2 + 3π/2 = 2π. Logo a soma é 6π. Passo 7: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (3π) não corresponde à soma de todas as seis soluções; a alternativa B (4π) omite o par π/2 e 3π/2; a alternativa C (5π) subtrai um valor igual a π da soma correta. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para simplificar e encontrar as soluções.
Alternativa por alternativa
Provavelmente perde parte das soluções da equação em sen^2(x) e soma apenas um subconjunto, como a família com sen^2(x) = 1/2 mais uma única solução isolada, chegando a um valor que não é a soma total.
Provavelmente desconsidera o caso sen^2(x) = 1, esquecendo que π/2 e 3π/2 também são soluções. Assim, soma apenas as quatro soluções de sen^2(x) = 1/2, o que daria 4π.
Provavelmente identifica corretamente as seis soluções, mas erra ao somar, por exemplo trocando 3π/2 por π ou esquecendo uma parcela igual a π. Isso leva a 5π.
CORRETA. A soma 6π corresponde à soma correta de todas as soluções da equação no intervalo [0, 2π], considerando todas as raízes obtidas.
Raio-X da questão
equação trigonométrica, soluções, soma
avaliacao
funções trigonométricas básicas · identidades trigonométricas
Estude identidades trigonométricas e resolução de equações trigonométricas.
Confundir potências de seno com funções diferentes ou esquecer múltiplas soluções no intervalo dado.
pensamento_critico
abstrato
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