O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos²x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < p, é dado por: UNESP - 2014
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos²x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < p, é dado por: UNESP - 2014
- A) S = {x ? (0, p) | 0 < x < p/6 ou 5p/6 < x < p}
- B) S = {x ? (0, p) | p/3 < x < 2p/3}
- C) S = {x ? (0, p) | 0 < x < p/3 ou 2p/3 < x < p}
- D) S = {x ? (0, p) | p/6 < x < 5p/6}
- E) S = {x ? (0, p)}
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a identidade do arco duplo: cos(2x) = 2cos^2 x - 1. Substituindo na inequação, 2cos^2 x + (2cos^2 x - 1) > 2.
- Simplifique: 4cos^2 x - 1 > 2, logo 4cos^2 x > 3, ou seja, cos^2 x > 3/4.
- Tire a raiz quadrada dos dois lados: |cos x| > raiz de 3 sobre 2. Isso significa cos x > raiz de 3 sobre 2 ou cos x < menos raiz de 3 sobre 2.
- Para 0 < x < pi, cos x > raiz de 3 sobre 2 ocorre quando 0 < x < pi/6, pois o cosseno decresce de 1 a -1 nesse intervalo e vale raiz de 3 sobre 2 em x = pi/6.
- cos x < menos raiz de 3 sobre 2 ocorre quando 5pi/6 < x < pi, pois cos(5pi/6) = menos raiz de 3 sobre 2.
- Logo S = {x em (0, pi) | 0 < x < pi/6 ou 5pi/6 < x < pi}, que é exatamente a alternativa A, coincidindo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B confunde a região onde |cos x| < 1/2 com a solução; C usa o limite 1/2 em vez de raiz de 3 sobre 2; D inverte o sentido da desigualdade; E afirma que todo x satisfaz, o que não ocorre, por exemplo em x = pi/2 a expressão vale 1 + (-1)... verificação: para x = pi/2, 2cos^2 x + cos(2x) = 0 + (-1) = -1, que não é maior que 2.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para simplificar e analisar a inequação.
Alternativa por alternativa
Está correta porque, ao desenvolver a inequação 2·cos²x + cos(2x) > 2 e fazer a substituição cos(2x) = 2cos²x - 1, obtém-se 4cos²x - 1 > 2, ou seja, cos²x > 3/4. Isso implica que |cos x| > v3/2 dentro do intervalo (0, p), resultando em x ? (0, p/6) ou x ? (5p/6, p).
O aluno resolveu cos^2 x < 1/4 em vez de cos^2 x > 3/4, invertendo o sentido da desigualdade e trocando a constante após simplificar 4cos^2 x - 1 > 2.
O aluno tirou a raiz quadrada de 3/4 como 1/2 (confundindo com raiz de 1/4), obtendo cos x > 1/2 em vez de cos x > raiz de 3 sobre 2.
O aluno obteve |cos x| < raiz de 3 sobre 2, ou seja, inverteu o sinal da desigualdade ao passar de cos^2 x > 3/4 para a forma com o módulo.
Por que engana: Confundir as identidades trigonométricas ou interpretar incorretamente os intervalos da solução.
O aluno acreditou que a expressão é sempre maior que 2 em todo o intervalo, sem verificar, por exemplo, que em x = pi/2 o valor é -1; provavelmente aplicou mal a identidade e concluiu uma desigualdade universal.
Raio-X da questão
inequação trigonométrica
avaliacao
identidades trigonométricas básicas · resolução de inequações
Estude identidades trigonométricas e resolução de inequações trigonométricas.
Confundir as identidades trigonométricas ou interpretar incorretamente os intervalos da solução.
pensamento_critico
abstrato
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