O número real x, com 0 < x < p, satisfaz a equação log3(1 - cosx) + log3(1 + cosx) = -2. Então, cos2x + senx…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número real x, com 0 < x < p, satisfaz a equação log3(1 - cosx) + log3(1 + cosx) = -2. Então, cos2x + senx vale [FUVEST 2012 - Questão 60] FUVEST - 2012
- A) 1
- B) 1/3
- C) 2
- D) 3/7
- E) 10/9
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Pela propriedade dos logaritmos, a soma é log3[(1 − cos x)(1 + cos x)] = log3(1 − cos² x) = log3(sen² x).
- Como esse logaritmo vale −2, temos sen² x = 3^(−2) = 1/9. Como 0 < x < π, sen x é positivo; portanto, sen x = 1/3.
- cos 2x = 1 − 2 sen² x = 1 − 2/9 = 7/9. Assim, cos 2x + sen x = 7/9 + 1/3 = 10/9, alternativa E.
- A alternativa A resulta de uma combinação incorreta dos valores trigonométricos; B não corresponde à soma calculada; C e D também decorrem de erros ao usar a identidade do ângulo duplo ou somar os termos.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para simplificar e depois aplique identidades trigonométricas.
Alternativa por alternativa
Provavelmente, o aluno usa um valor inadequado para cos 2x ou combina os termos sem considerar que sen x = 1/3 e cos 2x = 7/9.
Provavelmente, o aluno considera apenas uma parte da expressão ou calcula incorretamente a soma de cos 2x com sen x.
Por que engana: Confundir a soma dos logaritmos com a multiplicação, levando a um resultado incorreto na equação.
Provavelmente, o aluno aplica incorretamente a identidade cos 2x = 1 − 2 sen² x, obtendo um valor excessivo para a expressão.
Provavelmente, o aluno encontra valores incorretos para sen x ou cos 2x, possivelmente por não elevar sen x ao quadrado na identidade do ângulo duplo.
É a resposta que o enunciado sustenta.
Raio-X da questão
logaritmos e identidades trigonométricas
avaliacao
logaritmos e identidades trigonométricas · propriedades dos logaritmos
Revisar propriedades dos logaritmos e identidades trigonométricas básicas.
Confundir a soma dos logaritmos com a multiplicação, levando a um resultado incorreto na equação.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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