Se (a1, a2, a3, a4, . . .) é uma progressão aritmética cuja razão é igual a r e se para cada n tomarmos bn =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se (a1, a2, a3, a4, . . .) é uma progressão aritmética cuja razão é igual a r e se para cada n tomarmos bn = (an+1)² - (an)², então, bn+1 - bn é igual a (UECE 2018)
- A) 2r.
- B) 2r².
- C) 4r.
- D) 4r².
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como a PA tem razão r, cada termo é o anterior somado a r, ou seja, a_(n+1) = a_n + r. Passo 2: Calcule b_n = (a_(n+1))^2 - (a_n)^2 usando a diferença de quadrados: b_n = (a_(n+1) - a_n)(a_(n+1) + a_n) = r(a_n + r + a_n) = r(2a_n + r) = 2r*a_n + r^2. Passo 3: Calcule b_(n+1), trocando n por n+1: b_(n+1) = 2r*a_(n+1) + r^2 = 2r(a_n + r) + r^2 = 2r*a_n + 2r^2 + r^2 = 2r*a_n + 3r^2. Passo 4: Faça a diferença: b_(n+1) - b_n = (2r*a_n + 3r^2) - (2r*a_n + r^2) = 2r^2. Passo 5: Logo a resposta é 2r^2, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 2r é de grau 1 em r, mas a diferença de b envolve o quadrado de r; C) 4r também é de grau 1 e tem coeficiente errado; D) 4r^2 tem o grau certo, mas o coeficiente está dobrado em relação ao resultado correto.
💡 Dica: Use a definição da progressão aritmética e manipule as expressões algébricas para encontrar a diferença.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que b_n cresce linearmente como a PA, aplicando apenas a razão multiplicada por 2 e ignorando que o termo de b envolve r ao quadrado.
CORRETA. O cálculo mostra que bn+1 - bn = 2r², pois ao expandir e simplificar as expressões, o termo resultante é proporcional ao quadrado da razão da PA.
O aluno percebe que a diferença envolve o fator 2 e a razão r, mas trata a resposta como grau 1 em r, sem elevar r ao quadrado ao propagar a fórmula de b_n.
O aluno acerta o grau quadrático em r, mas erra o coeficiente, por exemplo ao não cancelar corretamente o termo 2r*a_n ou ao somar r^2 duas vezes ao calcular b_(n+1) - b_n.
Raio-X da questão
progressão aritmética, diferenças, álgebra
avaliacao
progressão aritmética · diferença de quadrados
Estude progressão aritmética e manipulação de expressões algébricas envolvendo quadrados.
Confundir a diferença entre termos consecutivos com a razão da progressão ou esquecer de aplicar a fórmula da diferença de quadrados corretamente.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Seja (an) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e a razão r, ambos números reais. É possível construir uma…
- Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 estejam em…
- Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da…
- A sequência (a1, a2, ..., a9) é uma progressão aritmética. Sabendo que a3 + a6 + a9 = 18, faça o que se pede…
- Folhas coloridas alinham-se no canteiro de uma praça, formando fileiras de lírios que florescem de acordo com um padrão…
- — João, por que colocamos 4 cadeiras na primeira fila e depois sempre acrescentamos 3 cadeiras na fila seguinte? —…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog