Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de…

Questão

Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da seguinte forma: a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior lado do retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir. A figura IV destaca a linha poligonal P1P2P3P4P5P6, formada pelos lados dos retângulos, que são os elementos da sequência (a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b). Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento da linha poligonal P1P2P3P4P5P6P7, de P1 até o vértice P7, é igual a: Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da seguinte forma: a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior lado do retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir. A figura IV destaca a linha poligonal P1P2P3P4P5P6, formada pelos lados dos retângulos, que são os elementos da sequência (a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b). Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento da linha poligonal P1P2P3P4P5P6P7, de P1 até o vértice P7, é igual a: (UERJ 2018)

1. A) 5a + 7b
2. B) 8a + 12b
3. C) 13a + 20b
4. D) 21a + 33b

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os comprimentos dos segmentos da linha poligonal. Cada segmento da linha é um lado de um retângulo da sequência: P1P2 = a, P2P3 = b, P3P4 = a + b, P4P5 = a + 2b, P5P6 = 2a + 3b. Esses são os cinco primeiros segmentos, citados no enunciado.
2. Descubra a regra da sequência. Cada termo é a soma dos dois anteriores: a + b = a + b; (a + b) + b = a + 2b; (a + 2b) + (a + b) = 2a + 3b. Trata-se de uma sequência do tipo Fibonacci, em que o novo lado é igual ao maior lado do retângulo anterior somado ao lado seguinte.
3. Calcule o próximo segmento, P6P7. Ele vale (a + 2b) + (2a + 3b)? Não: pela regra, ele é a soma dos dois termos anteriores imediatos, ou seja, (a + 2b) + (2a + 3b) = 3a + 5b. Confira: o lado do retângulo novo é o maior lado do anterior (2a + 3b) somado ao lado de maior tamanho que o precede (a + 2b), o que resulta em 3a + 5b.
4. Some os seis segmentos de P1 até P7. Temos a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b). Somando os coeficientes de a: 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 = 8. Somando os coeficientes de b: 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12. Logo, o comprimento é 8a + 12b.
5. Por que as outras estão erradas. A (5a + 7b) soma apenas os cinco primeiros segmentos, que terminam em P6, e esquece o último trecho P6P7. C (13a + 20b) acrescenta mais um segmento, 5a + 8b, que está além de P7. D (21a + 33b) soma ainda mais segmentos da sequência, indo além do vértice P7.
6. Resposta: alternativa B, 8a + 12b.

💡 Dica: Use a regra da sequência para somar os termos até P7.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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