Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a [FUVEST 2010 - Questão 74] FUVEST - 2010
- A) 3 + v3
- B) 3 + v3/2
- C) 3 + v3/4
- D) 3 - v3/2
- E) 3 - v3
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como a PA tem razão r e a2 = 2, temos a1 = 2 - r e a3 = 2 + r. Passo 2: Substituindo, os termos da progressão geométrica são a1 + 3 = 5 - r, a2 - 3 = -1 e a3 - 3 = r - 1. Passo 3: Em uma PG, o termo do meio ao quadrado é igual ao produto dos extremos: (-1)^2 = (5 - r)(r - 1), ou seja, 1 = 5r - 5 - r^2 + r. Passo 4: Organizando, r^2 - 6r + 6 = 0. Passo 5: Por Bhaskara, r = (6 ± raiz de 12)/2 = 3 ± raiz de 3. Passo 6: A condição a1 > 0 exige 2 - r > 0, isto é, r < 2. O valor 3 + raiz de 3 (aproximadamente 4,73) não serve, pois daria a1 negativo. Logo r = 3 - raiz de 3 (aproximadamente 1,27). Passo 7: Conferindo, os termos da PG são 2 + raiz de 3, -1 e 2 - raiz de 3, com razão raiz de 3 - 2 nos dois passos, o que confirma a solução. Passo 8: A alternativa A está errada porque ignora a condição a1 > 0. As alternativas B, C e D estão erradas porque não são raízes da equação r^2 - 6r + 6 = 0. A alternativa E é a correta, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use as definições de progressão aritmética e geométrica para montar equações e resolver para r.
Alternativa por alternativa
Escolheu a raiz com sinal de mais, 3 + raiz de 3, sem verificar a condição a1 > 0; com esse r, a1 = 2 - r ficaria negativo.
Por que engana: Confundir as condições de progressão aritmética e geométrica, aplicando incorretamente as fórmulas.
Resolveu corretamente a equação do segundo grau, mas leu ou escreveu a raiz de forma errada, dividindo a raiz de 3 por 2 em vez de dividir o conjunto inteiro; a forma 'v3/2' do enunciado também pode ser ambígua.
Errou o cálculo da fórmula de Bhaskara ou da simplificação, obtendo um termo raiz de 3 dividido por 4 em vez de sair direto de 3 ± raiz de 3.
Acertou o sinal de menos da raiz, mas errou a simplificação da fórmula de Bhaskara, dividindo a parte irracional por 2 de forma indevida.
CORRETA. Satisfaz as condições impostas para a PG.
Raio-X da questão
progressão aritmética e geométrica
avaliacao
progressão aritmética · progressão geométrica
Revisar definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas.
Confundir as condições de progressão aritmética e geométrica, aplicando incorretamente as fórmulas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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