No triângulo XYZ, as medidas em graus dos ângulos internos formam uma progressão aritmética cuja razão é igual…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo XYZ, as medidas em graus dos ângulos internos formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 30°. Se a medida do maior lado deste triângulo é igual a 12 cm, então, a soma das medidas, em cm, dos seus outros dois lados é igual a (UECE 2017)
- A) 6 (√3 + 1).
- B) 6 (√3 + 2).
- C) 6 (√3 + 3).
- D) 6 √3.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Sejam os ângulos internos a, a+30° e a+60°, em progressão aritmética de razão 30°. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos 3a + 90° = 180°, logo a = 30°. Os ângulos são 30°, 60° e 90°.
- Como o maior ângulo é 90°, o triângulo é retângulo. O maior lado é a hipotenusa, que mede 12 cm, e os outros dois lados são os catetos.
- O cateto oposto ao ângulo de 30° vale metade da hipotenusa: 12 / 2 = 6 cm.
- O cateto oposto ao ângulo de 60° vale hipotenusa vezes seno de 60°, ou seja, 12 · (√3/2) = 6√3 cm.
- A soma dos outros dois lados é 6 + 6√3 = 6(√3 + 1) cm, que corresponde à alternativa A.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B soma 12 cm a mais do que deveria, a C soma 18 cm no lugar de 6 cm, e a D considera apenas um dos catetos.
- Conclusão: o gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Use propriedades de triângulos e progressão aritmética para encontrar os ângulos e lados.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A soma dos outros dois lados é calculada corretamente aplicando a progressão aritmética para os ângulos, identificando o maior ângulo e usando a Lei dos Senos para encontrar os lados correspondentes, resultando em 6(√3 + 1).
O aluno provavelmente trata a hipotenusa de 12 cm como se fosse um dos catetos, ou soma 12 ao resultado sem perceber que o cateto oposto a 30° é 6 cm.
O aluno calcula de forma errada o cateto oposto a 30°, obtendo 18 cm em vez de 6 cm, possivelmente por mistura indevida de valores da hipotenusa com o cateto.
O aluno lê a pergunta como se pedisse apenas um dos lados, considerando só o cateto de 6√3 cm e ignorando o cateto de 6 cm, ou seja, não soma os dois lados pedidos.
Raio-X da questão
triângulo, ângulos, progressão aritmética
avaliacao
propriedades de triângulos · progressão aritmética
Estude propriedades de triângulos e progressão aritmética.
Confundir a relação entre ângulos e lados ou aplicar incorretamente a progressão aritmética.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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