O polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d é tal que as raízes da equação P(x) = 0 são os números -1, 1 e 2. Se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d é tal que as raízes da equação P(x) = 0 são os números -1, 1 e 2. Se P(0) = 24, então, o valor do coeficiente a é igual a (UECE 2017)
- A) 10.
- B) 8.
- C) 12.
- D) 6.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como -1, 1 e 2 são raízes de P(x) = 0, pelo teorema do fator podemos escrever P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2), pois o polinômio tem grau 3 e o coeficiente a é o mesmo que multiplica o termo x^3. Passo 2: Para descobrir a, usamos P(0) = 24. Substituindo x = 0: P(0) = a(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = a(1)(-1)(-2) = 2a. Passo 3: Como P(0) = d = 24, temos 2a = 24, logo a = 12. Passo 4: Conferindo, a alternativa correta é a C (12). A alternativa A (10) está errada, pois 2 vezes 10 é 20, não 24. A alternativa B (8) está errada, pois daria 2 vezes 8 igual a 16, não 24. A alternativa D (6) está errada, pois daria 2 vezes 6 igual a 12, não 24. Observação: o gabarito oficial C coincide com a resolução feita aqui.
💡 Dica: Use as raízes para montar o polinômio e aplique P(0)=24 para encontrar a.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo do termo independente ao montar a fatoração, obtendo um produto que não corresponde a 2a, e então chegou a um valor incorreto para a.
O aluno provavelmente dividiu P(0) = 24 pelo número de raízes (3), acreditando que o coeficiente a seria a constante dividida pela quantidade de raízes, o que não tem fundamento na relação entre raízes e coeficientes.
CORRETA. O valor a = 12, ao ser usado na forma fatorada P(x) = a(x+1)(x-1)(x-2), gera P(0) = 12 * (1)(-1)(-2) = 12 * 2 = 24, satisfazendo a condição dada.
O aluno provavelmente dividiu 24 por 4, confundindo o número de coeficientes ou o grau mais um com o fator que relaciona P(0) a a, ou aplicou a divisão por 2 duas vezes sem perceber que o produto correto já é 2a.
Raio-X da questão
polinômios e raízes
avaliacao
raízes de polinômios · valor numérico de polinômios
Estude como encontrar polinômios a partir das raízes e uso de valores dados.
Confundir o valor do coeficiente a com os outros coeficientes ou não usar corretamente as raízes para montar o polinômio.
pensamento_critico
abstrato
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