O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx , em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx , em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 , respectivamente. Assim, o valor de a é [FUVEST 2009 - Questão 73] FUVEST - 2009
- A) – 6
- B) – 7
- C) – 8
- D) – 9
- E) – 10
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pelo teorema do resto, p(2) = 2, pois o resto da divisão por x - 2 é 2. Como p(2) = 2^3 + a·2^2 + b·2 = 8 + 4a + 2b, temos 8 + 4a + 2b = 2, ou seja, 4a + 2b = -6, que simplificado fica 2a + b = -3 (equação I).
- Pelo mesmo teorema, p(1) = 4, pois o resto da divisão por x - 1 é 4. Como p(1) = 1 + a + b, temos 1 + a + b = 4, ou seja, a + b = 3 (equação II).
- Subtraindo a equação II da equação I: (2a + b) - (a + b) = -3 - 3, o que dá a = -6.
- Conferindo, b = 3 - a = 9. Então p(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Verificação: p(2) = 8 - 24 + 18 = 2 e p(1) = 1 - 6 + 9 = 4, ambos corretos.
- Portanto a alternativa correta é A (-6), que coincide com o gabarito oficial. As outras estão erradas: B (-7) resultaria de um erro de cálculo ao isolar a; C (-8) surgiria de tratar o resto como -2; D (-9) e E (-10) não satisfazem as duas condições simultaneamente.
💡 Dica: Use o Teorema do Resto para montar um sistema e encontrar a.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Não satisfaz as condições dos restos.
Provavelmente errou a aritmética ao transformar 8 + 4a + 2b = 2 em 4a + 2b = -6, obtendo 4a + 2b = -8 e chegando a 2a + b = -4 e, depois, a = -7.
Por que engana: Confundir os restos das divisões, aplicando incorretamente o teorema do resto para encontrar os valores de a e b.
Provavelmente leu o resto 2 como -2 ao montar a equação de p(2), obtendo 8 + 4a + 2b = -2 e, a partir daí, um valor de a incorreto.
Provavelmente somou ou subtraiu mal os termos independentes ao montar a equação de p(1), chegando a um valor de a + b diferente de 3, o que altera o resultado final.
Provavelmente calculou a + b como 7 por erro na equação do resto de x - 1 e combinou esse valor com 2a + b = -3, o que leva a a = -10.
Raio-X da questão
teorema do resto, polinômios
avaliacao
teorema do resto · polinômios
Revisar o Teorema do Resto e resolução de sistemas lineares.
Confundir os restos das divisões, aplicando incorretamente o teorema do resto para encontrar os valores de a e b.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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