Considere a seguinte matriz: A = (sen? 7 -cos?; cos? 7 sen?; sen? 13 cos?). Assinale a alternativa que…

Questão

Considere a seguinte matriz: A = (sen? 7 -cos?; cos? 7 sen?; sen? 13 cos?). Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de ? ? [0, p] que satisfazem det A = -13. (UFPR 2022)

1. A) π/4
2. B) 2π/3
3. C) 3π/4
4. D) 2π

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Calcule o determinante pela primeira linha, (sen θ, 7, -cos θ). Obtém-se det A = sen θ(7cos θ - 13sen θ) - 7(cos^2 θ - sen^2 θ) - cos θ(13cos θ - 7sen θ) = 14 sen θ cos θ - 6 sen^2 θ - 20 cos^2 θ. Passo 2: Imponha det A = -13: 14 sen θ cos θ - 6 sen^2 θ - 20 cos^2 θ = -13. Passo 3: Escreva -13 como -13(sen^2 θ + cos^2 θ), usando a relação fundamental sen^2 θ + cos^2 θ = 1. Assim, 14 sen θ cos θ - 6 sen^2 θ - 20 cos^2 θ + 13 sen^2 θ + 13 cos^2 θ = 0, ou seja, 14 sen θ cos θ + 7 sen^2 θ - 7 cos^2 θ = 0. Passo 4: Divida tudo por 7: sen^2 θ + 2 sen θ cos θ - cos^2 θ = 0. Se cos θ = 0, teríamos sen^2 θ = 0, o que é impossível; logo cos θ não é zero e podemos dividir por cos^2 θ, obtendo tg^2 θ + 2 tg θ - 1 = 0. Passo 5: Resolva a equação do segundo grau em t = tg θ: t = -1 ± raiz de 2. Passo 6: No intervalo [0, π], tg θ = raiz de 2 - 1 (positiva) corresponde a θ = π/8, pois tg(π/8) = raiz de 2 - 1, que está no primeiro quadrante. Já tg θ = -1 - raiz de 2 (negativa) corresponde a θ no segundo quadrante: θ = π - 3π/8 = 5π/8, pois tg(3π/8) = 1 + raiz de 2. Passo 7: A soma dos valores é π/8 + 5π/8 = 6π/8 = 3π/4, que é a alternativa C. Passo 8: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (π/4) não satisfaz a equação, pois tg(π/4) = 1 e 1 + 2 - 1 = 2 é diferente de 0; a alternativa B (2π/3) não é raiz, pois a tangente de 2π/3 é -raiz de 3, que não resolve t^2 + 2t - 1 = 0; a alternativa D (2π) está fora do intervalo [0, π] exigido pelo enunciado.

💡 Dica: Calcule o determinante da matriz e resolva a equação para ? no intervalo dado.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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