Se 3x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³, para todo número real x, o valor de a + b é [FUVEST 2020 - Questão 20]…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se 3x² - 9x + 7 = (x - a)³ - (x - b)³, para todo número real x, o valor de a + b é [FUVEST 2020 - Questão 20] FUVEST - 2020
- A) 3
- B) 5
- C) 6
- D) 9
- E) 12
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Use a identidade da diferença de cubos: u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2). Com u = x - a e v = x - b, temos u - v = b - a.
- Desenvolva o segundo fator. (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2, (x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2 e (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab. Somando: 3x^2 - 3(a + b)x + (a^2 + ab + b^2).
- Multiplique por (b - a): (x - a)^3 - (x - b)^3 = 3(b - a)x^2 - 3(a + b)(b - a)x + (a^2 + ab + b^2)(b - a).
- Como a igualdade vale para todo x real, os coeficientes devem ser iguais. Pelo termo em x^2: 3(b - a) = 3, logo b - a = 1.
- Pelo termo em x: -3(a + b)(b - a) = -9. Como b - a = 1, temos a + b = 3.
- Verificação: b - a = 1 e a + b = 3 dão b = 2 e a = 1. Pelo termo constante, (a^2 + ab + b^2)(b - a) = 1 + 2 + 4 = 7, que coincide com o termo independente do enunciado. Portanto a + b = 3, alternativa A.
- Por que as demais estão erradas: B) 5 não satisfaz a relação -3(a + b) = -9 obtida dos coeficientes de x. C) 6 viria de dobrar a soma a + b, o que não corresponde a nenhum coeficiente. D) 9 seria obtido tomando diretamente o coeficiente -9 como a + b, sem a divisão pelo fator 3 e sem o fator b - a. E) 12 não corresponde a nenhuma combinação consistente dos coeficientes da identidade.
💡 Dica: Expanda os cubos e iguale os coeficientes dos termos semelhantes.
Alternativa por alternativa
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno desenvolveu a diferença de cubos, mas errou na soma dos coeficientes de x dentro do segundo fator, obtendo uma relação que leva a 5 em vez de 3.
O aluno calculou corretamente a relação entre os coeficientes, mas dobrou a soma a + b por engano, chegando a 6.
Por que engana: Confundir a soma dos valores de a e b com a soma dos coeficientes da equação polinomial.
O aluno tomou o coeficiente -9 do termo em x diretamente como o valor de a + b, sem dividir pelo fator 3 e sem considerar o fator (b - a) = 1.
O aluno leu a identidade como se bastasse igualar termos de forma aleatória e obteve 12 por combinar mal os coeficientes, sem verificar a consistência entre o termo em x^2 e o termo em x.
Raio-X da questão
equação polinomial, identidade algébrica
avaliacao
identidade algébrica · equações polinomiais
Revisar operações com polinômios e identidades notáveis.
Confundir a soma dos valores de a e b com a soma dos coeficientes da equação polinomial.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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