Considere o polinômio P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ? + a_1 x + a_0, em que a_0, ?, a_{n-1} ? R. Sabe-se que…

Questão

Considere o polinômio P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ? + a_1 x + a_0, em que a_0, ?, a_{n-1} ? R. Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que a_0 < 0. O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro n = 1, é: [FUVEST 2018 - Questão 32] FUVEST - 2018

1. A) -1
2. B) i^n
3. C) i^{n+1}
4. D) (-1)^n
5. E) (-1)^{n+1}

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Em um polinômio mônico de grau n, P(x) = x^n + ... + a_1 x + a_0, as relações de Girard dizem que o produto das n raízes é (-1)^n · a_0. Esse é o ponto de partida, sem depender do gabarito. Observação: no enunciado, os '?' representam coeficientes intermediários (a_2, ..., a_{n-2}) que não afetam o resultado, e 'n = 1' deve ser lido como n ≥ 1.
2. Como todas as raízes estão sobre a circunferência unitária, cada raiz tem módulo 1. O módulo do produto das raízes é, portanto, 1. Logo |(-1)^n · a_0| = 1, ou seja, |a_0| = 1.
3. Como a_0 é real e negativo (a_0 < 0) e |a_0| = 1, temos a_0 = -1.
4. Substituindo na fórmula, o produto das raízes é (-1)^n · (-1) = (-1)^(n+1).
5. Comparando com as alternativas, a resposta é a E, (-1)^(n+1), que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas: A) -1 vale apenas para n ímpar e ignora a dependência de n. B) i^n não é real em geral, mas o produto é real, pois a_0 é real. C) i^(n+1) também é complexo e não pode ser o produto, já que a_0 é real. D) (-1)^n desconsidera que a_0 = -1 negativo, pois para n par daria 1 e não -1 como exige a condição a_0 < 0.

💡 Dica: Use a relação entre coeficientes e raízes do polinômio e a propriedade das raízes na circunferência unitária.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• O polinômio P(x) = x³ - 3x² + 7x - 5 possui uma raiz complexa ? cuja parte imaginária é positiva. A parte real de ?³ é…
• Suponha que o polinômio p(x) = x³ + mx - 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla e uma raiz real…
• O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx , em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1 …
• Considere o polinômio p(x) = 2x^2 + nx + n, sendo n um número inteiro positivo. Determine todos os valores possíveis de…
• Considere os polinômios m(x) = x² - 3x + 2, n(x) = x² - 4x + 3 e q(x) = x³ - x² - 4x + 4, que têm como fator comum o…
• Seja a equação quadrática nx2 – x + 1 = 0, em que n é uma constante real, com duas raízes reais positivas e distintas…