A menor distância entre os pontos do plano cartesiano R², com coordenadas inteiras e que estão sobre a reta y…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A menor distância entre os pontos do plano cartesiano R², com coordenadas inteiras e que estão sobre a reta y = 3x + 1 é (UECE 2013)
- A) 1 u.c.
- B) 2 u.c.
- C) √5 u.c.
- D) √10 u.c.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Um ponto com coordenadas inteiras sobre a reta y = 3x + 1 precisa ter x inteiro, e nesse caso y = 3x + 1 também é inteiro. Logo, os pontos têm a forma (x, 3x + 1), com x inteiro. Exemplos: (0, 1), (1, 4), (-1, -2) e (2, 7). Passo 2: Considere dois desses pontos, (a, 3a + 1) e (b, 3b + 1). A diferença nas abscissas é b - a e a diferença nas ordenadas é (3b + 1) - (3a + 1) = 3(b - a). Pela fórmula da distância entre dois pontos, a distância é raiz de ((b - a)^2 + 9(b - a)^2), que é igual a raiz de 10(b - a)^2, ou seja, |b - a| vezes raiz de 10. Passo 3: Como a e b são inteiros distintos, |b - a| é um inteiro maior ou igual a 1. Assim, todas as distâncias entre pontos desse conjunto são múltiplos de raiz de 10, e a menor delas ocorre quando |b - a| = 1. Passo 4: Verificação com os pontos (0, 1) e (1, 4): a distância é raiz de (1^2 + 3^2) = raiz de (1 + 9) = raiz de 10 u.c. Passo 5: Por que as outras alternativas estão erradas: a alternativa A (1 u.c.) só seria obtida se considerássemos apenas a variação horizontal, ignorando a variação vertical de 3 unidades. A alternativa B (2 u.c.) não corresponde a nenhum par de pontos da reta com coordenadas inteiras e não surge de nenhum cálculo correto. A alternativa C (raiz de 5 u.c.) seria a distância entre pontos com catetos 1 e 2, o que ocorre em uma reta de inclinação 2, e não de inclinação 3. Resposta: alternativa D, raiz de 10 u.c.
💡 Dica: Calcule a menor distância entre pontos inteiros na reta dada usando propriedades da geometria analítica.
Alternativa por alternativa
Considera que a distância entre pontos consecutivos é apenas o acréscimo de 1 na coordenada x, ignorando que y varia 3 unidades a cada passo.
Trata a distância como uma simples diferença entre coeficientes ou coordenadas, como 3 - 1 = 2, sem aplicar o teorema de Pitágoras.
Calcula raiz de (1^2 + 2^2) usando inclinação 2 em vez de 3, confundindo os coeficientes da reta ao montar a diferença vertical.
CORRETA. A menor distância entre pontos inteiros na reta y = 3x + 1 é a distância entre pontos consecutivos (x, y) e (x+1, y+3), que é √((1)² + (3)²) = √10 u.c.
Raio-X da questão
distância entre pontos inteiros
diagnostico
distância entre pontos no plano · equação da reta
estude distância entre pontos no plano cartesiano e propriedades de retas
Confundir distância entre pontos com distância da reta à origem ou usar fórmula incorreta para pontos com coordenadas inteiras.
pensamento_critico
abstrato
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