MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Observe no plano cartesiano a seguir a reta r, de equação y = 5 - 3x, sendo x ? R, e seu ponto P, que é o mais…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Observe no plano cartesiano a seguir a reta r, de equação y = 5 - 3x, sendo x ? R, e seu ponto P, que é o mais próximo da origem. O ponto P tem a seguinte abscissa: (UERJ 2023)

A) 1,3
B) 1,5
C) 1,7
D) 1,9

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

O ponto da reta mais próximo da origem é aquele em que o segmento que liga a origem ao ponto é perpendicular à reta. Equivalentemente, é o ponto que minimiza a distância d(x) = raiz de (x^2 + y^2), com y = 5 - 3x. Basta minimizar f(x) = x^2 + (5 - 3x)^2. Passo 2: Expandindo, f(x) = x^2 + 25 - 30x + 9x^2 = 10x^2 - 30x + 25. Passo 3: O mínimo de uma parábola com concavidade para cima ocorre no vértice, ou seja, na abscissa x = -b/(2a) = 30/20 = 1,5. Também é possível derivar f(x) e igualar a zero: 20x - 30 = 0, resultando em x = 1,5. Passo 4: Confirmando, para x = 1,5 temos y = 5 - 3(1,5) = 5 - 4,5 = 0,5, então P = (1,5; 0,5). A distância à origem é raiz de (2,25 + 0,25) = raiz de 2,5, aproximadamente 1,58. Passo 5: Conferindo as alternativas. Em A, x = 1,3 dá y = 1,1 e distância raiz de 2,9, aprox. 1,70, que é maior. Em C, x = 1,7 dá y = -0,1 e distância raiz de 2,9, aprox. 1,70, também maior. Em D, x = 1,9 dá y = -0,7 e distância raiz de 4,1, aprox. 2,02, bem maior. Logo, a alternativa correta é a B, 1,5.

💡 Dica: Calcule a distância da origem ao ponto na reta e minimize para encontrar a abscissa.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

O aluno provavelmente estimou visualmente a posição de P na figura, escolhendo um valor próximo de 1,5 sem verificar a distância real à origem. Ele não calculou a distância mínima e, por isso, tomou um valor vizinho como se fosse o mais próximo.

Por que engana: Escolher a abscissa sem calcular a distância mínima, confundindo o ponto mais próximo com qualquer ponto da reta.

B Correta

CORRETA. A abscissa 1,5 é obtida ao aplicar a condição de perpendicularidade entre o ponto P e a reta r, garantindo que P seja o ponto mais próximo da origem.

C Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente confundiu o ponto mais próximo da origem com o ponto em que a reta corta o eixo x, que tem abscissa 5/3, aproximadamente 1,7. Ele achou que o ponto mais próximo seria onde y = 0, sem considerar a distância até a origem.

D Erradaerro: Senso comum

O aluno provavelmente leu a proximidade de forma visual e escolheu um ponto de abscissa maior, acreditando que ele estaria mais perto da origem. Não verificou que, para x = 1,9, a ordenada y = -0,7 deixa o ponto bem mais afastado da origem.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ direta🧩 progressao

🎯 Conceito central

distância ponto reta

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

equação da reta · distância entre pontos

📚 Reveja

estude cálculo de distância entre ponto e reta no plano cartesiano

⚠️ Erro mais comum

Escolher a abscissa sem calcular a distância mínima, confundindo o ponto mais próximo com qualquer ponto da reta.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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