Se a é um ângulo entre 0º e 90º tal que os números (sena / 2), sena, tga, nesta ordem, constituem uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a é um ângulo entre 0º e 90º tal que os números (sena / 2), sena, tga, nesta ordem, constituem uma progressão geométrica, então o valor de a é (UECE 2013)
- A) 30º.
- B) 45º.
- C) 75º.
- D) 60º.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Em uma progressão geométrica, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos termos vizinhos. Aqui os termos são sen a/2, sen a e tg a, então (sen a)^2 = (sen a/2) · tg a. Passo 2: Como a está entre 0º e 90º, sen a é diferente de zero, então podemos dividir os dois lados por sen a, obtendo sen a = tg a / 2, ou seja, tg a = 2 sen a. Passo 3: Como tg a = sen a / cos a, temos sen a / cos a = 2 sen a. Dividindo por sen a (diferente de zero), resulta 1/cos a = 2, logo cos a = 1/2. Passo 4: O único ângulo entre 0º e 90º com cosseno igual a 1/2 é a = 60º. Passo 5: Verificação: para a = 60º, sen a = √3/2, sen a/2 = √3/4 e tg a = √3. A razão entre o segundo e o primeiro termo é (√3/2)/(√3/4) = 2, e entre o terceiro e o segundo é √3/(√3/2) = 2. Como as razões são iguais, a sequência é de fato uma PG de razão 2. Passo 6: Por que as outras estão erradas: 30º tem cos 30º = √3/2, e não 1/2, então não satisfaz a condição; 45º tem tg 45º = 1 e sen 45º = √2/2, o que gera razão diferente de 2; 75º não tem cosseno igual a 1/2, pois cos 75º é aproximadamente 0,259. Conclusão: o gabarito D está correto.
💡 Dica: Use a definição de progressão geométrica e relações trigonométricas para montar a equação.
Alternativa por alternativa
Provavelmente confundiu seno com cosseno ao trabalhar com 30º, usando sen 30º = 1/2 como se fosse o valor de cos a exigido pela condição.
Provavelmente escolheu 45º por intuição, por ser um ângulo notável intermediário, sem aplicar a condição de razão constante na PG; ao testar, não percebeu que a razão entre os termos não seria igual.
Provavelmente não resolveu a equação e escolheu o valor por palpite, ou tratou a sequência como progressão aritmética (diferença constante) em vez de progressão geométrica (razão constante).
CORRETA. Para α = 60º, os termos (sen60º / 2), sen60º e tg60º formam uma progressão geométrica, pois a razão entre os termos é constante.
Raio-X da questão
progressão geométrica e trigonometria
avaliacao
funções trigonométricas básicas · progressão geométrica
Estude progressão geométrica e funções trigonométricas básicas.
Confundir progressão geométrica com progressão aritmética ou aplicar incorretamente as relações trigonométricas.
pensamento_critico
abstrato
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