Admita que uma pessoa na posição P avista o ponto A mais alto de um morro sob um ângulo de 40°. Ao caminhar…

Questão

Admita que uma pessoa na posição P avista o ponto A mais alto de um morro sob um ângulo de 40°. Ao caminhar 100 m sobre a reta horizontal PB, até a posição Q, ela avista o mesmo ponto sob o ângulo de 50°. O esquema a seguir representa essa situação, sendo AB a altura do morro em relação à reta horizontal PB. Considere os seguintes valores das razões trigonométricas: a sen a cos a tg a 40° 0,64 0,77 0,84 50° 0,77 0,64 1,19 A altura AB, em metros, é igual a: (UERJ 2022)

1. A) 212,0
2. B) 224,6
3. C) 232,0
4. D) 285,6

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique o triângulo retângulo APB, com ângulo de 40° em P, cateto oposto AB = h (a altura) e cateto adjacente PB. Como tg = cateto oposto / cateto adjacente, temos tg 40° = h / PB, ou seja, PB = h / tg 40°. Passo 2: No triângulo retângulo AQB, o ângulo em Q é de 50°, o cateto oposto é AB = h e o cateto adjacente é QB. Assim, tg 50° = h / QB, ou seja, QB = h / tg 50°. Passo 3: A pessoa caminha 100 m de P até Q sobre a reta PB, então PB - QB = 100. Substituindo: h / tg 40° - h / tg 50° = 100, isto é, h · (1/tg 40° - 1/tg 50°) = 100. Passo 4: Pela tabela, tg 40° = 0,84 e tg 50° = 1,19. Logo 1/tg 40° = 1/0,84 ≈ 1,19 e 1/tg 50° = 1/1,19 ≈ 0,84. A diferença é 1,19 - 0,84 = 0,35. Passo 5: Então h · 0,35 = 100, e h = 100 / 0,35 ≈ 285,6 m. Resposta: alternativa D. Passo 6: A alternativa A (212,0) não corresponde ao cálculo, pois não resulta da diferença entre as cotangentes dos dois ângulos. A alternativa B (224,6) também não surge da relação correta entre a altura e os 100 m. A alternativa C (232,0) é um valor próximo, mas não é o resultado da equação h · (cotg 40° - cotg 50°) = 100.

💡 Dica: Use as razões trigonométricas e as informações dos ângulos para montar equações e calcular a altura.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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