A figura a seguir representa uma circunferência de centro O e raio 1. Considere AC, BD e PQ diâmetros, com AC…

Questão

A figura a seguir representa uma circunferência de centro O e raio 1. Considere AC, BD e PQ diâmetros, com AC e BD perpendiculares. Observe-se ainda, que o ponto P pertence ao arco BC e o ponto R, ao raio OD; o segmento QR é paralelo a AC; e a é a medida do ângulo CÔP. Sabendo que sen 2a = 2 sen a . cos a, a área do triângulo PQR é igual a: Sabendo que sen 2a = 2 sen a . cos a, a área do triângulo PQR é igual a: (UERJ 2021)

1. A) sen 2α / 2
2. B) cos 2α / 2
3. C) sen 2α
4. D) cos 2α

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Posicione o centro O na origem, com AC na horizontal e BD na vertical. Assim, C = (1, 0), A = (-1, 0), B = (0, 1) e D = (0, -1).
2. O ponto P está no arco BC e o ângulo CÔP mede a. Logo, P = (cos a, sen a).
3. PQ é diâmetro, então Q é o ponto diametralmente oposto a P: Q = (-cos a, -sen a).
4. R está sobre o raio OD, então R = (0, y). Como QR é paralelo a AC (horizontal), Q e R têm a mesma ordenada: y = -sen a. Portanto, R = (0, -sen a).
5. Calcule a área pelo determinante. Os vetores são Q - P = (-2cos a, -2sen a) e R - P = (-cos a, -2sen a). O determinante é (-2cos a)(-2sen a) - (-2sen a)(-cos a) = 4 sen a cos a - 2 sen a cos a = 2 sen a cos a. A área é a metade do módulo desse valor: sen a cos a.
6. Pela identidade dada, sen 2a = 2 sen a cos a, logo sen a cos a = sen 2a / 2. A área do triângulo PQR é sen 2a / 2, alternativa A.
7. A alternativa B (cos 2a / 2) troca o seno pelo cosseno, o que não corresponde ao produto sen a cos a. A alternativa C (sen 2a) esquece o fator 1/2 da fórmula da área. A alternativa D (cos 2a) combina a troca de função com a falta do fator 1/2.

💡 Dica: Use a fórmula do seno do ângulo duplo e propriedades de triângulos em circunferência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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