MatemáticaUECEBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Os únicos números reais x que satisfazem a igualdade x = 1 + 1 / (1 + 1/x) são (UECE 2013)

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Os únicos números reais x que satisfazem a igualdade x = 1 + 1 / (1 + 1/x) são (UECE 2013)

A) (1 + √5) / 2 e (1 - √2) / 2.
B) (1 + √5) / 2 e (1 - √3) / 2.
C) (1 + √5) / 2 e (1 - √5) / 2.
D) (1 + √3) / 2 e (1 - √3) / 2.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Para que as frações existam, x deve ser diferente de 0 e de -1. Passo 2: Simplifique 1 + 1/x = (x + 1)/x. Passo 3: O inverso dessa expressão é x/(x + 1). Passo 4: A equação fica x = 1 + x/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1). Passo 5: Multiplicando ambos os lados por (x + 1), obtemos x^2 + x = 2x + 1, ou seja, x^2 - x - 1 = 0. Passo 6: Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é 1 + 4 = 5, e x = (1 + raiz de 5)/2 ou x = (1 - raiz de 5)/2. Passo 7: Nenhuma dessas raízes é igual a 0 ou a -1, então ambas são soluções válidas. Passo 8: A alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: na A, (1 - raiz de 2)/2 não é raiz, pois o discriminante é 5 e não 2; na B, a raiz de 3 aparece no lugar de raiz de 5, o que não corresponde ao discriminante correto; na D, a raiz de 3 aparece nas duas soluções, o que também não corresponde à equação x^2 - x - 1 = 0.

💡 Dica: Isolar x e resolver a equação racional resultante.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

Calculou o discriminante errado, obtendo 2 em vez de 5, provavelmente por erro de soma ou de sinal ao montar 1 + 4.

B Erradaerro: Procedimental

Errou o valor do discriminante ao usar 3 no lugar de 5, possivelmente esquecendo de multiplicar o termo independente por 4 ou somando 1 + 2.

C Correta

CORRETA. As soluções reais da equação são exatamente (1 + √5)/2 e (1 - √5)/2, que são as raízes da equação quadrática obtida ao manipular a expressão.

D Erradaerro: Procedimental

Errou o discriminante e usou 3 nas duas raízes, o que indica que não aplicou corretamente a fórmula de Bhaskara à equação x^2 - x - 1 = 0.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Compreender|Aplicar|Análise

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

equação racional números reais

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

operações com frações algébricas · resolução de equações do 1º grau

📚 Reveja

estudo de equações racionais e manipulação algébrica

⚠️ Erro mais comum

Confundir a ordem das operações e não isolar corretamente a variável x.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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