O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações: I. x é irracional. II. x = 10/3 III. x - 10^2000.000 é um inteiro par. Então, [FUVEST 2014 - Questão 38] FUVEST - 2014
- A) nenhuma das três afirmações é verdadeira.
- B) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
- C) apenas a afirmação I é verdadeira.
- D) apenas a afirmação II é verdadeira.
- E) apenas a afirmação III é verdadeira.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Analise a expansão decimal de x. Após a vírgula há 999.999 dígitos 3, depois 1.000.001 dígitos 2 e, a partir daí, somente zeros. Logo, x tem uma quantidade finita de casas decimais não nulas, ou seja, é um decimal exato e portanto racional. Passo 2: Afirmação I é falsa, pois todo decimal finito representa um número racional (x = p/q com q potência de 10). Passo 3: Afirmação II é falsa, pois 10/3 = 3,333... tem infinitos dígitos 3, enquanto x tem apenas 999.999 deles; além disso, x termina com zeros e 10/3 não termina. Passo 4: Afirmação III: a expressão deve ser lida como x multiplicado por 10^2.000.000 (a notação 2.000.000 usa o ponto como separador de milhar, e o sinal de menos provavelmente é erro de digitação). Multiplicar x por 10^2.000.000 desloca a vírgula 2.000.000 casas, deixando todos os dígitos significativos à esquerda da vírgula. O último dígito não nulo de x está na posição 2.000.000 e vale 2, então o resultado é um inteiro terminado em 2, portanto par. Logo, III é verdadeira. Passo 5: Se a expressão fosse lida literalmente como x menos 10^2.000.000, o resultado teria parte fracionária não nula e não seria inteiro, o que tornaria III falsa; essa é a dúvida de interpretação, mas a leitura coerente com o enunciado é a multiplicação. Passo 6: Conclusão: apenas a afirmação III é verdadeira, o que corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise a natureza decimal do número e relacione com propriedades de números racionais e irracionais.
Alternativa por alternativa
Considera que III é falsa por ler a expressão como subtração x menos 10^2.000.000, que deixaria parte fracionária, sem perceber que a expressão deveria ser uma multiplicação por potência de 10.
Acredita que x é irracional e que 10/3 é igual a x, confundindo um decimal com infinitos dígitos 3 com um número de expansão finita.
Por que engana: Confundir a representação decimal de um número com a sua classificação como racional ou irracional, levando a uma conclusão errada sobre a veracidade das afirmações.
Acha que qualquer número com muitos dígitos não periódicos ou de expansão longa é irracional, ignorando que a expansão de x termina com zeros.
Aproxima x de 10/3 porque os primeiros dígitos coincidem (3,333...), sem notar que x tem apenas 999.999 dígitos 3 e depois outros dígitos, enquanto 10/3 tem infinitos 3.
Incorreta. A afirmação III é falsa, pois x - 10^2000.000 não é um inteiro par.
Raio-X da questão
números racionais e irracionais, expansão decimal
avaliacao
números racionais e irracionais · expansão decimal
Revisar propriedades de números racionais e irracionais e interpretação de expansões decimais.
Confundir a representação decimal de um número com a sua classificação como racional ou irracional, levando a uma conclusão errada sobre a veracidade das afirmações.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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