O valor do número real positivo x que satisfaz a igualdade 3/log2 x + 2/log3 x + 2/log5 x = 2 é (UECE 2024)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O valor do número real positivo x que satisfaz a igualdade 3/log2 x + 2/log3 x + 2/log5 x = 2 é (UECE 2024)
- A) 20√3.
- B) 30√2.
- C) 20√5.
- D) 30√5.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Interpreto 3/log2 x como 3 dividido por log de x na base 2, ou seja, a expressão usual de frações de logaritmos. Usando a mudança de base, 1/log_b x = log_x b. Assim, 3/log2 x = 3 log_x 2, 2/log3 x = 2 log_x 3 e 2/log5 x = 2 log_x 5. Passo 2: A equação fica 3 log_x 2 + 2 log_x 3 + 2 log_x 5 = 2. Passo 3: Pela propriedade do logaritmo de potência, n log_x a = log_x a^n, então log_x (2^3) + log_x (3^2) + log_x (5^2) = 2. Passo 4: Pela propriedade do produto, a soma vira log_x (8 . 9 . 25) = log_x 1800 = 2. Passo 5: Pela definição de logaritmo, x^2 = 1800. Como x é positivo, x = raiz de 1800 = raiz de (900 . 2) = 30 raiz de 2. Passo 6: Logo a alternativa correta é a B, 30√2, que coincide com o gabarito oficial. Verificação das outras: A) 20√3 elevado ao quadrado dá 1200, diferente de 1800; C) 20√5 elevado ao quadrado dá 2000, diferente de 1800; D) 30√5 elevado ao quadrado dá 4500, diferente de 1800.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para simplificar e resolver a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno chega a x^2 = 1200 por erro na multiplicação dos fatores 8, 9 e 25 ou na fatoração de 1800, e então extrai a raiz de forma incorreta.
CORRETA. O valor 30√2 é o único que, ao ser substituído na equação e após aplicar as propriedades dos logaritmos, satisfaz a igualdade dada.
O aluno obtém x^2 = 2000 ao trocar expoentes ou coeficientes ao aplicar a propriedade do logaritmo de potência, por exemplo tratando o coeficiente de log_x 5 de forma errada.
O aluno obtém x^2 = 4500 ao errar a fatoração de 1800 ou a multiplicação dos coeficientes, e não percebe que o resultado não confere com a soma dos logaritmos.
Raio-X da questão
equação com logaritmos
avaliacao
propriedades dos logaritmos · equações algébricas básicas
Estude propriedades e mudança de base dos logaritmos.
Confundir as bases dos logaritmos ou aplicar incorretamente as propriedades de mudança de base.
pensamento_critico
abstrato
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