O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1 é o intervalo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1 é o intervalo: [FUVEST 2006 - Questão 28] FUVEST - 2006
- A) ] –8, 5/2 [
- B) ] 7/4 , 8 [
- C) ] –5/2 , 0 [
- D) ] 1/3 , 7/4 [
- E) ] 0, 1/3 [
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Condições de existência. Para log2(2x + 5) existir, 2x + 5 > 0, ou seja, x > -5/2. Para log2(3x - 1) existir, 3x - 1 > 0, ou seja, x > 1/3. Como as duas condições devem valer ao mesmo tempo, o domínio é x > 1/3.
- Juntar os logaritmos. Pela propriedade do quociente, log2(2x + 5) - log2(3x - 1) = log2((2x + 5)/(3x - 1)). A inequação fica log2((2x + 5)/(3x - 1)) > 1.
- Escrever 1 como logaritmo de base 2. Como 1 = log2(2), a inequação vira log2((2x + 5)/(3x - 1)) > log2(2).
- Retirar o logaritmo. Como a base 2 é maior que 1, a função log2 é crescente, então o sentido da desigualdade se mantém: (2x + 5)/(3x - 1) > 2.
- Resolver a desigualdade. Como 3x - 1 > 0 no domínio, podemos multiplicar os dois lados sem trocar o sentido: 2x + 5 > 6x - 2, logo 7 > 4x, ou seja, x < 7/4.
- Interseção com o domínio. Combinando x > 1/3 com x < 7/4, a solução é o intervalo ]1/3, 7/4[.
- Conferência com as alternativas. A alternativa A está errada porque o intervalo começa em -8, valor que não respeita a condição x > 1/3. A alternativa B está errada porque tem o limite inferior 7/4, que é o limite superior correto, e o limite superior 8 não aparece em nenhuma condição. A alternativa C está errada porque usa a condição 2x + 5 > 0 e ignora a restrição 3x - 1 > 0. A alternativa E está errada porque inverte a restrição do domínio, usando x < 1/3 em vez de x > 1/3.
- Conclusão: a resposta correta é a alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use propriedades de logaritmos para transformar a inequação e determine o intervalo solução.
Alternativa por alternativa
O aluno ignora as condições de existência dos logaritmos e trata a inequação como se fosse válida para qualquer x, chegando a limites sem sentido como -8.
Por que engana: O aluno pode confundir a aplicação das propriedades dos logaritmos, resultando em uma inequação incorreta.
O aluno resolve corretamente 7 > 4x, mas inverte a direção ao isolar x ou confunde o limite superior com o inferior, e ainda inventa o limite 8.
O aluno considera apenas a condição 2x + 5 > 0 e esquece a restrição 3x - 1 > 0, o que o leva a um intervalo com limite inferior -5/2 e limite superior 0.
Incorreta. Não satisfaz a inequação.
O aluno inverte a condição de existência, usando 3x - 1 < 0 em vez de 3x - 1 > 0, e ainda toma 0 como limite, o que mostra falta de compreensão do domínio do logaritmo.
Raio-X da questão
inequação logarítmica
avaliacao
propriedades de logaritmos · inequações
Revisar propriedades de logaritmos e resolução de inequações logarítmicas.
O aluno pode confundir a aplicação das propriedades dos logaritmos, resultando em uma inequação incorreta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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