A distância entre duas circunferências C1 e C2 é definida como a menor distância entre os pontos de C1 e os…

Questão

A distância entre duas circunferências C1 e C2 é definida como a menor distância entre os pontos de C1 e os pontos de C2, isto é, se X é um ponto em C1, Y é um ponto em C2 e d(X,Y) é a distância entre X e Y, então a distância entre C1 e C2 é o menor valor que d(X,Y) pode assumir. Assim, a distância entre as circunferências x² + y² - 4y + 3 = 0 e x² + y² - 4x + 3 = 0 é (UECE 2012)

1. A) 3(√3 - 1) u.c.
2. B) 2(√3 - 1) u.c.
3. C) 2(√2 - 1) u.c.
4. D) 3(√2 - 1) u.c.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Complete os quadrados da primeira circunferência. x² + y² - 4y + 3 = 0 fica x² + (y² - 4y + 4) = 1, ou seja, x² + (y - 2)² = 1. Logo, C1 tem centro O1 = (0, 2) e raio r1 = 1. Passo 2: Faça o mesmo com a segunda circunferência. x² - 4x + 4 + y² = 1 resulta em (x - 2)² + y² = 1. Logo, C2 tem centro O2 = (2, 0) e raio r2 = 1. Passo 3: Calcule a distância entre os centros. d(O1, O2) = raiz de (2² + (-2)²) = raiz de 8 = 2 raiz de 2. Passo 4: Compare essa distância com a soma dos raios. A soma dos raios é 1 + 1 = 2, e 2 raiz de 2 é aproximadamente 2,83, que é maior que 2. Logo, as circunferências são exteriores e não se tocam. Passo 5: Na posição exterior, a menor distância entre um ponto de C1 e um ponto de C2 é a distância entre os centros menos a soma dos raios. Assim, d = 2 raiz de 2 - 2 = 2(raiz de 2 - 1), que corresponde à alternativa C. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A alternativa A dá 3(raiz de 3 - 1) e a B dá 2(raiz de 3 - 1), ambas com raiz de 3, que não surge da distância correta entre os centros. A alternativa D dá 3(raiz de 2 - 1), que resultaria de um raio de valor 3/2 ou de um multiplicador indevido, o que não condiz com os raios iguais a 1. O gabarito oficial C está correto.

💡 Dica: Calcule os centros e raios das circunferências e use a fórmula da distância entre círculos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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