Em um mapa cartesiano de um jardim circular, o centro está no ponto C(2, -1). Um ponto P(5, 3) foi marcado na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um mapa cartesiano de um jardim circular, o centro está no ponto C(2, -1). Um ponto P(5, 3) foi marcado na borda do jardim. — Qual é a distância que qualquer ponto X(x,y) precisa manter de C para pertencer à borda desse jardim?
- A) A distância de X até C deve ser igual à distância de X até P.
- B) A distância de X até C deve ser igual a 7 unidades.
- C) A distância de X até C deve ser igual a 4 unidades.
- D) A distância de X até C deve ser igual a 25 unidades.
- E) A distância de X até C deve ser igual a 5 unidades.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Em um circulo, todos os pontos da borda estao a mesma distancia do centro. Essa distancia e o raio. Logo, o que se procura e a distancia entre X(x,y) e C(2,-1). Passo 2: O ponto P(5,3) pertence a borda, entao a distancia de P ate C e o raio do jardim. Passo 3: Calculamos a distancia entre C(2,-1) e P(5,3). A diferenca nas abscissas e 5 - 2 = 3 e a diferenca nas ordenadas e 3 - (-1) = 4. Pelo teorema de Pitagoras, a distancia e raiz de (3^2 + 4^2) = raiz de (9 + 16) = raiz de 25 = 5. Passo 4: Portanto, qualquer ponto X(x,y) da borda deve estar a 5 unidades de C, ou seja, (x-2)^2 + (y+1)^2 = 25. A alternativa E esta correta. Passo 5: A alternativa A esta errada porque a igualdade de distancias a C e a P descreve a mediatriz do segmento CP, que nao e uma circunferencia. A alternativa B esta errada porque 7 e a soma 3 + 4, que nao e a distancia euclidiana. A alternativa C esta errada porque 4 e apenas um dos catetos do triangulo formado. A alternativa D esta errada porque 25 e o quadrado da distancia, e a distancia em si e a raiz quadrada de 25. O gabarito oficial E esta correto, sem divergencia.
💡 Dica: Calcule a distância entre C e P para determinar o raio do círculo.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a condicao da borda e apenas igualar duas distancias, confundindo a definicao de circunferencia com a de mediatriz. Ele nao percebe que o raio ja e determinado pelo proprio ponto P.
O aluno provavelmente somou as diferencas das coordenadas (3 + 4 = 7), usando a distancia de quarteirao em vez da distancia euclidiana entre os pontos.
Por que engana: Confundir a distância entre pontos com outras medidas ou escolher o valor errado do raio.
O aluno provavelmente considerou apenas uma das diferencas de coordenadas, como a variacao vertical de 4, e nao aplicou Pitagoras para combinar os dois catetos.
O aluno calculou corretamente a soma dos quadrados (9 + 16 = 25), mas esqueceu de extrair a raiz quadrada para obter a distancia.
Esta alternativa está correta, pois o raio do círculo é a distância entre o centro C(2,-1) e o ponto P(5,3), que vale 5 unidades. Todo ponto da borda de um círculo fica exatamente a uma distância igual ao raio em relação ao centro.
Raio-X da questão
distância no plano cartesiano
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · distância entre pontos
estude cálculo de distância entre pontos no plano cartesiano
Confundir a distância entre pontos com outras medidas ou escolher o valor errado do raio.
tomada_decisao
abstrato
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