Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam…

Questão

Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2). O valor de (x1 + y1)² + (x2 + y2)² é igual a [FUVEST 2017 - Questão 89] FUVEST - 2017

1. A) 5/2
2. B) 7/2
3. C) 9/2
4. D) 11/2
5. E) 13/2

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como as circunferências são tangentes aos dois eixos no primeiro quadrante, o centro de uma circunferência de raio r é (r, r). Assim, a circunferência de raio 1 tem centro (1, 1) e equação (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1, que expandida fica x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0. A de raio 2 tem centro (2, 2) e equação (x-2)^2 + (y-2)^2 = 4, que expandida fica x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0.
2. Os pontos de interseção satisfazem as duas equações. Subtraindo a segunda da primeira: (-2x - 2y + 1) - (-4x - 4y + 4) = 0, o que dá 2x + 2y - 3 = 0, ou seja, x + y = 3/2. Portanto, para os dois pontos, x1 + y1 = 3/2 e x2 + y2 = 3/2.
3. Então (x1 + y1)^2 + (x2 + y2)^2 = (3/2)^2 + (3/2)^2 = 9/4 + 9/4 = 9/2.
4. Verificação de existência: substituindo x + y = 3/2 na equação da circunferência de raio 1, obtém-se x^2 + y^2 = 2, e com s = 3/2 e p = xy, vem 9/4 - 2p = 2, logo p = 1/8. O discriminante s^2 - 4p = 9/4 - 1/2 = 7/4 é positivo, então há dois pontos distintos, e como soma e produto são positivos, ambos estão no primeiro quadrante. Logo a resposta é 9/2, alternativa C, em concordância com o gabarito.
5. Por que as outras estão erradas: A (5/2) não corresponde à soma dos quadrados com x + y = 3/2; B (7/2) confunde o valor do discriminante 7/4 com o quadrado da soma; D (11/2) decorre de uma constante errada na subtração das equações; E (13/2) decorre de erro na expansão dos quadrados.

💡 Dica: Use as condições de tangência para determinar os centros e equações das circunferências e depois encontre os pontos de interseção.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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