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Sabe-se que, na equação x³ + 4x² + x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Sabe-se que, na equação x³ + 4x² + x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é UNESP - 2014

A) S = {–3, –2, –1}
B) S = {–3, –2, +1}
C) S = {+1, +2, +3}
D) S = {–1, +2, +3}
E) S = {–2, +1, +3}

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Procuramos raízes inteiras do polinômio P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6, testando divisores de -6 (ou substituindo valores simples). Para x = 1: 1 + 4 + 1 - 6 = 0, logo 1 é raiz. Para x = -2: -8 + 16 - 2 - 6 = 0, logo -2 é raiz. Para x = -3: -27 + 36 - 3 - 6 = 0, logo -3 é raiz.
Como o polinômio é do 3º grau e já encontramos três raízes distintas, o conjunto solução é S = {-3, -2, 1}. Confirmamos também pela relação de Girard: a soma das raízes deve ser -4 (coeficiente de x^2 com sinal trocado), e -3 + (-2) + 1 = -4.
Verificamos a condição do enunciado, de que uma raiz é a soma das outras duas. Testando: 1 = -2 + (-3)? Não, pois -2 + (-3) = -5. -3 = -2 + 1? Não, pois -2 + 1 = -1. -2 = 1 + (-3)? Sim, pois 1 + (-3) = -2. Portanto a condição é satisfeita pela raiz -2.
Conclusão: a alternativa correta é a B, S = {-3, -2, +1}, que coincide com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas: A contém -1, que não anula o polinômio (-1 + 4 - 1 - 6 = -4); C contém 2 e 3 com sinais trocados, e o valor 2 não é raiz; D contém -1 e 2, que não são raízes; E contém 3, que não é raiz (27 + 36 + 3 - 6 não é zero), e além disso -2 e 1 não satisfazem a condição da soma com 3.

💡 Dica: Use as propriedades das raízes e relações entre coeficientes para encontrar as raízes.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Atençãoa que mais engana

O aluno substituiu x por -1 e considerou que o valor anula o polinômio, ou inverteu o sinal de uma raiz positiva ao testar. Não verificou a substituição com cuidado.

Por que engana: Confundir a relação entre as raízes e não aplicar corretamente as propriedades das somas e produtos das raízes.

B Correta

Correta porque, ao substituir –3, –2 e 1 na equação, todas zeram a expressão: (–3)³ + 4(–3)² + (–3) – 6 = 0, o mesmo para –2 e 1. Além disso, satisfaz a condição: –3 = (–2) + 1. Portanto, é o conjunto solução correto.

C Erradaerro: Atenção

O aluno ignorou os sinais negativos dos coeficientes e tomou os módulos ou sinais trocados como raízes, achando que a soma de raízes positivas resolve a condição.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno tentou fatorar ou testar valores sem respeitar corretamente o sinal dos termos, obtendo raízes erradas, e não substituiu os valores no polinômio para conferir.

E Erradaerro: Interpretação

O aluno acertou apenas parte das raízes (-2 e 1), mas incluiu 3 sem verificar que não anula o polinômio, e também não testou a condição de que uma raiz é a soma das outras duas.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

equação cúbica raízes soma

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

equações polinomiais grau 3 · relações coeficientes raízes

📚 Reveja

Estude relações entre raízes e coeficientes em equações polinomiais.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre as raízes e não aplicar corretamente as propriedades das somas e produtos das raízes.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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