Seja f : R ? R definida por f(x) = 3 / (2 + sen x). Se M e m são respectivamente os valores máximo e mínimo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja f : R ? R definida por f(x) = 3 / (2 + sen x). Se M e m são respectivamente os valores máximo e mínimo que a função f assume, o valor do produto M.m é (UECE 2018)
- A) 2,0.
- B) 3,5.
- C) 3,0.
- D) 1,5.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a faixa de valores de sen x. Para todo número real x, sabemos que -1 ≤ sen x ≤ 1.
- Some 2 em toda a desigualdade para obter a faixa do denominador: 1 ≤ 2 + sen x ≤ 3.
- Como o numerador 3 é positivo, f(x) = 3/(2 + sen x) é uma função decrescente do denominador. Assim, o maior valor de f ocorre quando o denominador é mínimo (1), e o menor valor ocorre quando o denominador é máximo (3).
- Calcule M = 3/1 = 3 (máximo, atingido quando sen x = -1) e m = 3/3 = 1 (mínimo, atingido quando sen x = 1). Ambos os valores são de fato assumidos pela função, pois sen x atinge -1 e 1 em números reais.
- Calcule o produto M.m = 3 x 1 = 3. Portanto a alternativa correta é a C) 3,0, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (2,0) não corresponde a nenhum dos extremos calculados; a alternativa B (3,5) não resulta de nenhuma combinação correta dos extremos 3 e 1; a alternativa D (1,5) surgiria apenas com um mínimo incorreto de 0,5, que não é atingido pela função.
💡 Dica: Determine os valores máximo e mínimo da função usando propriedades do seno.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou o termo constante 2 do denominador como se fosse um dos extremos da função, ignorando que os valores extremos dependem da variação de sen x entre -1 e 1.
O aluno calculou os extremos de forma inconsistente ou tratou o produto como se fosse soma, chegando a um valor fracionário sem base na faixa correta do denominador.
CORRETA. O produto dos valores máximo e mínimo da função f(x) = 3 / (2 + sen x) é 3,0, obtido ao calcular corretamente os extremos da função considerando os valores máximo e mínimo do seno.
O aluno supôs que o denominador pode chegar a 6, obtendo mínimo 3/6 = 0,5, e multiplicou por M = 3; ele não respeitou a faixa 1 ≤ 2 + sen x ≤ 3.
Raio-X da questão
valores máximo e mínimo função
avaliacao
função trigonométrica · análise de extremos
Estude funções trigonométricas e análise de extremos
Confundir o intervalo do seno e calcular incorretamente os valores máximo e mínimo da função.
pensamento_critico
abstrato
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