MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Média⏱ medio

Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é [FUVEST 2014 - Questão 45] FUVEST - 2014

A) 1/8
B) 1/6
C) 2/9
D) 1/4
E) 1/3

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Chame de a a aresta do cubo. Seu volume é a^3. Seja O o vértice comum às três arestas escolhidas, e A, B, C as outras extremidades dessas arestas. O tetraedro tem vértices O, A, B, C e, por isso, arestas OA, OB, OC (arestas do cubo) e AB, BC, CA (diagonais das faces).
Tome como base o triângulo retângulo OAB, que está em uma face do cubo. Seus catetos OA e OB medem a, logo sua área é a^2/2.
A altura do tetraedro em relação a essa base é a aresta OC, perpendicular à face do cubo que contém OAB, e mede a.
Volume do tetraedro = (1/3) x (área da base) x (altura) = (1/3) x (a^2/2) x a = a^3/6.
Razão entre os volumes = (a^3/6) / a^3 = 1/6, que é a alternativa B, igual ao gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas: 1/8 corresponderia a um dos oito octantes do cubo, o que não é a forma do tetraedro; 2/9 não resulta de nenhuma aplicação correta da fórmula do volume da pirâmide com essas medidas; 1/4 surgiria se o fator 1/3 fosse esquecido; 1/3 surgiria se a base fosse a face inteira do cubo, de área a^2, em vez do triângulo de área a^2/2.

💡 Dica: Calcule o volume do tetraedro usando as arestas do cubo e compare com o volume do cubo.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Supõe que o tetraedro ocupa exatamente um dos oito pequenos cubos obtidos ao dividir o cubo ao meio em cada direção, ignorando que as arestas do tetraedro são diagonais de faces e que sua forma é uma pirâmide de base triangular.

Por que engana: Confundir a relação entre os volumes do tetraedro e do cubo, aplicando a fórmula errada para o cálculo do volume.

B Correta

CORRETA. Esta é a razão correta entre os volumes.

C Erradaerro: Procedimental

Erra o cálculo do volume da pirâmide, usando uma área de base ou uma altura incorreta, de modo que a fração final não corresponde a a^3/6.

D Erradaerro: Procedimental

Calcula a área da base corretamente como a^2/2 e a altura como a, mas esquece o fator 1/3 da fórmula do volume da pirâmide, obtendo a^3/4.

E Erradaerro: Interpretação

Usa como base a face inteira do cubo, de área a^2, em vez do triângulo retângulo de área a^2/2 que realmente forma a base do tetraedro, obtendo (1/3) x a^2 x a = a^3/3.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

volume tetraedro e cubo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de sólidos · propriedades do cubo

📚 Reveja

Revisar cálculo de volumes de sólidos geométricos e relações entre eles.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a relação entre os volumes do tetraedro e do cubo, aplicando a fórmula errada para o cálculo do volume.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

Questões parecidas com resolução

🔎 Procurar outra questão

Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog