Na figura ao lado, estão representadas quatro circunferências de raio r = 1 cm que são tangentes nos pontos A…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura ao lado, estão representadas quatro circunferências de raio r = 1 cm que são tangentes nos pontos A, B, C e D. Assinale a alternativa que corresponde ao valor, em cm², da área hachurada em cinza. (UFPR 2023)
- A) π - 1.
- B) π - 2.
- C) 2 - π/2.
- D) 4 - π.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os centros das quatro circunferências ficam nos vértices de um quadrado. Como as circunferências têm raio 1 cm e são tangentes entre si, o lado desse quadrado mede 2 cm (dois raios). Assim, a área do quadrado é 2 x 2 = 4 cm². Passo 2: A região hachurada é a parte do quadrado que não está ocupada pelos círculos. Em cada vértice do quadrado há um quarto de círculo de raio 1 cm, com área (π x 1²)/4 = π/4 cm². Passo 3: Como são quatro quartos de círculo, a soma dessas áreas é 4 x π/4 = π cm². Passo 4: A área hachurada é a área do quadrado menos a área dos quartos de círculo: 4 - π cm², que corresponde à alternativa D. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na alternativa A, π - 1 não corresponde a nenhuma subtração correta entre o quadrado e os quartos de círculo. Na alternativa B, π - 2 resulta de uma área de quadrado incorreta. Na alternativa C, 2 - π/2 aparece quando apenas dois quartos de círculo são considerados.
💡 Dica: Analise as propriedades das circunferências e calcule a área da região hachurada usando fórmulas geométricas.
Alternativa por alternativa
O aluno toma como base um quadrado de lado 1 cm, de área 1 cm², quando o lado correto é 2 cm, e inverte a relação entre a área dos círculos e a área hachurada.
O aluno calcula a área do quadrado de forma errada, usando lado √2 cm (confundindo a diagonal com o lado), o que dá área 2 cm², e depois subtrai π.
O aluno considera apenas dois quartos de círculo (uma metade, π/2) em vez dos quatro quartos presentes na figura, o que faz a soma das áreas dos círculos ficar errada.
CORRETA. A área hachurada é dada pela área do quadrado de lado 2 (4 cm²) menos a soma das áreas dos quatro setores circulares de 90° (π cm²), resultando em 4 - π cm².
Raio-X da questão
área de regiões geométricas
avaliacao
área do círculo
estude cálculo de áreas de círculos e regiões formadas por interseção de circunferências
Confundir a área total das circunferências com a área da região hachurada, ou esquecer de considerar a interseção correta.
pensamento_critico
abstrato
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