Sabendo que sen x = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de cos (2x). (UFPR 2025)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sabendo que sen x = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de cos (2x). (UFPR 2025)
- A) 2/25
- B) 3/25
- C) 7/25
- D) 9/25
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a fórmula adequada. Para cos(2x), uma das identidades de arco duplo é cos(2x) = 1 - 2 sen^2 x, que usa apenas o seno, já dado no enunciado.
- Substitua o valor de sen x. Como sen x = 3/5, temos sen^2 x = (3/5)^2 = 9/25.
- Calcule. cos(2x) = 1 - 2 * (9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.
- Confira por outro caminho. Sabendo que sen^2 x + cos^2 x = 1, obtemos cos^2 x = 16/25, logo cos x = 4/5 ou -4/5. Usando cos(2x) = cos^2 x - sen^2 x = 16/25 - 9/25 = 7/25, chegamos ao mesmo resultado, independentemente do sinal de cos x.
- Conclusão. A alternativa correta é a C, 7/25, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 2/25 não corresponde a nenhuma identidade usual de cos(2x) com sen x = 3/5; é resultado de uma combinação incorreta de termos. B) 3/25 não é o valor de cos(2x); corresponde ao produto sen x * cos x com cos x = 1/5, que não é o valor de cos x. D) 9/25 é apenas sen^2 x, que não é cos(2x).
💡 Dica: Use a fórmula do cosseno do ângulo duplo e a relação pitagórica para encontrar cos x.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente usa uma fórmula de arco duplo trocada ou com sinal errado, como 2 sen^2 x - cos^2 x, obtendo 18/25 - 16/25 = 2/25.
O aluno pode tomar cos x como 1/5 e multiplicar sen x por cos x (3/5 * 1/5 = 3/25), confundindo cos(2x) com o produto sen x * cos x sem aplicar a fórmula de arco duplo.
CORRETA. Aplicando cos(2x) = 1 - 2sen²x, temos 1 - 2*(3/5)² = 1 - 2*(9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.
O aluno calcula sen^2 x = 9/25 e responde esse valor como se fosse cos(2x), esquecendo de aplicar a fórmula de arco duplo.
Raio-X da questão
funções trigonométricas, ângulo duplo
diagnostico
função seno e cosseno · identidades trigonométricas básicas
Estude as identidades trigonométricas básicas e a fórmula do cosseno do ângulo duplo.
Confundir a fórmula do cosseno do ângulo duplo ou esquecer de calcular cos x corretamente a partir de sen x.
tomada_decisao
abstrato
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