Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150a^(-0,05 t), com a > 1…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150a^(-0,05 t), com a > 1, sendo T a temperatura do bolo e t o tempo decorrido em minutos. Assinale a alternativa que corresponde ao tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial que apresentava quando foi retirado do forno em t = 0. (Use se necessário log_a 2 = 0,7 e log_a 5 = 1,6). (UFPR 2024)
- A) 10 minutos
- B) 12 minutos
- C) 16 minutos
- D) 18 minutos
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule a temperatura inicial, que é T(0). Substituindo t = 0 em T(t) = 30 + 150a^(-0,05t), temos a^0 = 1, logo T(0) = 30 + 150 = 180 graus.
- Calcule a metade dessa temperatura: 180 / 2 = 90 graus.
- Monte a equação T(t) = 90: 30 + 150a^(-0,05t) = 90. Isolando o termo exponencial, 150a^(-0,05t) = 60, ou seja, a^(-0,05t) = 60/150 = 2/5.
- Aplique logaritmo de base a nos dois lados: -0,05t = log_a(2/5). Como log de quociente é a diferença dos logaritmos, log_a(2/5) = log_a 2 - log_a 5 = 0,7 - 1,6 = -0,9.
- Então -0,05t = -0,9, o que dá t = 0,9 / 0,05 = 18 minutos.
- Conclusão: a alternativa correta é a D (18 minutos), coincidindo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (10 min) e B (12 min) correspondem a valores de t que não satisfazem a equação com os logaritmos fornecidos, e C (16 min) também não resulta de log_a(2/5) = -0,9.
💡 Dica: Use a equação dada para montar a igualdade e aplique logaritmos para resolver para t.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aproximou a razão 2/5 por 1/2 ou usou um valor de -0,5 para log_a(2/5), obtendo -0,05t = -0,5 e, portanto, t = 10.
O aluno provavelmente calculou log_a(2/5) como -0,6 por erro na subtração dos logaritmos (por exemplo, 1,6 - 1 ou 0,7 - 0,1), chegando a 0,05t = 0,6 e t = 12.
O aluno provavelmente tomou a temperatura de referência ou a proporção de forma errada, chegando a um expoente de -0,8 e, assim, a t = 16; isso mostra que não associou corretamente o valor 60/150 ao logaritmo de 2/5.
CORRETA. O cálculo usando logaritmos mostra que o tempo t é aproximadamente 18 minutos para a temperatura atingir metade da inicial.
Raio-X da questão
função exponencial decrescente
avaliacao
função exponencial · propriedades de logaritmos
estude propriedades de logaritmos e funções exponenciais
Confundir a base do logaritmo ou esquecer de aplicar corretamente as propriedades dos logaritmos ao resolver a equação.
tomada_decisao
cotidiano
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