Suponha que o polinômio p(x) = x³ + mx - 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla e uma raiz…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Suponha que o polinômio p(x) = x³ + mx - 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla e uma raiz real simples. O valor da soma de m com a é: [FUVEST 2022 - Questão 38] FUVEST - 2022
- A) 0
- B) -1
- C) -2
- D) -3
- E) -4
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Nesta questão, a letra a representa a raiz dupla do polinômio, e a pergunta pede o valor de m + a. Seja s a raiz simples. Então p(x) = (x - a)^2 (x - s). Passo 2: Desenvolvendo, (x^2 - 2ax + a^2)(x - s) = x^3 - (s + 2a)x^2 + (a^2 + 2as)x - a^2 s. Passo 3: Como p(x) = x^3 + mx - 2 não tem termo em x^2, o coeficiente de x^2 deve ser zero: s + 2a = 0, ou seja, s = -2a. Passo 4: O termo independente deve ser -2, então -a^2 s = -2, isto é, a^2 s = 2. Substituindo s = -2a: -2a^3 = 2, logo a^3 = -1 e a = -1. Passo 5: Com a = -1, temos s = -2a = 2. Passo 6: O coeficiente de x é m = a^2 + 2as = 1 + 2(-1)(2) = 1 - 4 = -3. Passo 7: Logo m + a = -3 + (-1) = -4, alternativa E. Verificação: x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2 (x - 2), que tem raiz -1 dupla e raiz 2 simples. Por que as demais estão erradas: A) 0 exigiria m + a = 0, o que não é compatível com as raízes encontradas; B) -1 exigiria m = 0, mas o coeficiente de x é -3; C) -2 surge de um erro de sinal na raiz dupla; D) -3 é apenas o valor de m, esquecendo de somar a.
💡 Dica: Use a condição de raiz dupla para encontrar m e a.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a raiz dupla é 0 ou que a soma é nula por simetria, sem resolver o sistema formado pelos coeficientes de x^2, x e termo independente.
O aluno encontra corretamente a = -1, mas toma m = 0 ao ignorar o termo 2as ao expandir (x - a)^2 (x - s), que contribui para o coeficiente de x.
O aluno erra o sinal ao resolver a^3 = -1, obtendo a = 1 e, com isso, m = -3 e a soma -2.
O aluno calcula corretamente m = -3, mas responde apenas o valor de m e esquece de somar a raiz dupla, como pede o enunciado.
Por que engana: Confundir a condição de ter uma raiz dupla com a condição de ter apenas raízes simples, levando a um cálculo incorreto de m.
CORRETA. A soma de m e a é -4, considerando as condições de raiz dupla.
Raio-X da questão
raízes de polinômios, multiplicidade de raízes
avaliacao
raízes de polinômios · multiplicidade de raízes
Revisar propriedades de raízes múltiplas e derivadas de polinômios.
Confundir a condição de ter uma raiz dupla com a condição de ter apenas raízes simples, levando a um cálculo incorreto de m.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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