Na figura ao lado, tem-se um reservatório no formato de um cone circular reto com altura h e área do topo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura ao lado, tem-se um reservatório no formato de um cone circular reto com altura h e área do topo igual a 12 m^2. Esse reservatório está sendo preenchido com um líquido cujo volume em m^3 é dado por: V(t) = log_2(t^2 + 1) sendo t = 0 o tempo. Em quanto tempo o líquido atingirá metade da capacidade desse reservatório? (UFPR 2023)
- A) t = √(4^h - 1).
- B) t = 2^h - 1.
- C) t = √(2^h - 1).
- D) t = 4^h - 1.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O volume de um cone é V = (1/3) x área da base x altura. Como a área do topo (base circular do cone) é 12 m^2, a capacidade total do reservatório é (1/3) x 12 x h = 4h m^3. Passo 2: Metade da capacidade é 2h m^3. Passo 3: Queremos o tempo t em que V(t) = 2h, ou seja, log_2(t^2 + 1) = 2h. Passo 4: Pela definição de logaritmo, t^2 + 1 = 2^(2h), que é igual a 4^h. Passo 5: Isolando t, temos t^2 = 4^h - 1. Como t é tempo e não pode ser negativo, t = raiz quadrada de (4^h - 1). Essa é a alternativa A. Passo 6: Por que as outras estão erradas: na B, a simplificação t^2 + 1 para t + 1 elimina o quadrado de t e não leva ao resultado correto; na C, a metade da capacidade é tomada como h, quando na verdade é 2h, o que troca 4^h por 2^h; na D, a raiz quadrada é esquecida e o quadrado de t também é eliminado, gerando t + 1 = 4^h.
💡 Dica: Calcule o volume total do reservatório e iguale a função do volume a metade desse valor para encontrar t.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A alternativa apresenta a expressão correta para o tempo t em que o volume do líquido atinge metade da capacidade do reservatório, obtida ao resolver a equação log_2(t^2 + 1) = (1/2) * V_total, considerando que V_total = 4^h - 1.
Acredita que t^2 + 1 pode ser reduzido a t + 1, ignorando o expoente de t, e por isso chega a t + 1 = 2^h e t = 2^h - 1.
Considera que a metade da capacidade é h (em vez de 2h), então escreve t^2 + 1 = 2^h e obtém t = raiz de (2^h - 1).
Esquece a raiz quadrada ao isolar t e também elimina o quadrado de t, obtendo t + 1 = 4^h e t = 4^h - 1.
Raio-X da questão
volume de cone, logaritmo
avaliacao
volume de cone circular reto · propriedades de logaritmos
estude volume de cone e propriedades de logaritmos
Confundir a área do topo com o volume total ou não aplicar corretamente a função logarítmica para encontrar o tempo.
pensamento_critico
cotidiano
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