Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm³/s…

Questão

Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm³/s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. Admitindo p = 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: Admitindo p = 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por: (UERJ 2015)

1. A) h = 4 ³√t
2. B) h = 2 ³√t
3. C) h = 2 √t
4. D) h = 4 √t

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Identifique a relação entre o volume de água e o tempo. A torneira enche o recipiente a 1 cm³/s, então, após t segundos, o volume de água é V = t cm³.
2. Escreva o volume de água como um cone de altura h. Como o cone tem vértice para baixo, a água forma um cone menor, semelhante ao recipiente. Seu raio r e sua altura h estão na mesma proporção que o raio 3 e a altura 24 do recipiente: r/h = 3/24 = 1/8, ou seja, r = h/8.
3. Aplique a fórmula do volume do cone, V = (1/3) × p × r² × h, com p = 3. Assim, V = (1/3) × 3 × (h/8)² × h = (h²/64) × h = h³/64.
4. Iguale os dois volumes: h³/64 = t. Logo, h³ = 64t.
5. Isole h tirando a raiz cúbica dos dois lados. Como a raiz cúbica de 64 é 4, obtemos h = 4 ∛t, que é a alternativa A.
6. Por que as outras estão erradas. A alternativa B confunde a raiz cúbica de 64 com a de 8. A alternativa C aparece por tratar a relação como quadrática, com raiz quadrada, quando o volume do cone depende do cubo da altura. A alternativa D combina o erro da raiz quadrada com o coeficiente 4, sem respeitar a potência cúbica.

💡 Dica: Use a relação do volume do cone e a taxa de variação para encontrar h em função de t.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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