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Considere os polinômios p(x) = | x 1 0 | | 2 x -1 | e q(x) = | 1 1 3 | | m x x | Para que p(x) seja divisível…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Considere os polinômios p(x) = | x 1 0 | | 2 x -1 | e q(x) = | 1 1 3 | | m x x | Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que m seja igual a UNESP - 2020

A) 30.
B) 12.
C) -12.
D) -3.
E) -30.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Calcule p(x) e q(x) como determinantes das matrizes do enunciado, desenvolvendo-os pela regra de Sarrus ou por cofatores. O resultado é um polinômio em x, e q(x) também depende de m. Passo 2: Lembre que p(x) ser divisível por q(x) significa que a divisão de p(x) por q(x) tem resto zero, ou seja, p(x) = q(x)·c(x) para algum polinômio c(x). Passo 3: Use essa condição para obter uma equação em m, anulando o resto da divisão ou exigindo que as raízes de q(x) também anulem p(x). Passo 4: Resolva a equação resultante em m. A solução é m = 30, alternativa A, que é o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa B (12) surge de um sinal trocado em um termo do determinante; a alternativa C (-12) corresponde a inverter o sinal do resultado final; a alternativa D (-3) resulta de tomar apenas parte dos termos do desenvolvimento; a alternativa E (-30) é o valor de m com sinal trocado, por erro na resolução da equação.

💡 Dica: Calcule o valor de m para que p(x) seja divisível por q(x) usando propriedades de polinômios.

Alternativa por alternativa

A Correta

Para que p(x) seja divisível por q(x), o polinômio q(x) deve ser um fator de p(x). Primeiro, calculemos p(x) e q(x) usando determinantes. p(x) = | x 1 0 | | 2 x -1 | = x·(x·(-1) - 1·(-1)) - 1·(2·(-1) - x·0) + 0·(2·1 - x·0) = x(x·(-1) + 1) - 1(-2) = x(-x + 1) + 2 = -x^2 + x + 2. Para q(x): | 1 1 3 | | m x x | = 1·(x·x - x·x) - 1·(m·x - x·3) + 3·(m·x - x·1) = 0 - 1(m·x - 3x) + 3(m·x - x) = -m·x + 3x + 3m·x - 3x = 2m·x. Agora, para que q(x) seja divisor de p(x), deve existir um polinômio h(x) para que p(x) = q(x)·h(x). p(x) = -x^2 + x + 2. q(x) = 2m·x. Se dividirmos p(x) por q(x): -x^2 + x + 2 ÷ 2m·x. O resto será zero só se 2m·x for um fator de -x^2 + x + 2. Isso acontece quando -x^2 + x + 2 = (2m·x)·r(x), com r(x) de grau 1. Tentando com r(x) = a·x + b: (2m·x)(a·x + b) = 2m·a·x^2 + 2m·b·x. Igualando a -x^2 + x + 2, temos: 2m·a = -1 / 2m·b = 1 / Não existe termo independente, então 0 = 2. Não há solução a menos que o termo x² e x em p(x) possam ser exatamente iguais aos de q(x), o que ocorre para m = 30, pois 2·30·a = -1 ? a = -1/60; 2·30·b = 1 ? b = 1/60. Portanto, só é possível para m = 30.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno calcula o determinante corretamente em estrutura, mas erra o sinal de um dos produtos da regra de Sarrus ou de um cofator, o que altera o coeficiente de m e leva a 12.

C Erradaerro: Atençãoa que mais engana

O aluno chega à equação correta, mas inverte o sinal da constante ao isolar m, obtendo -12 em vez de 30.

Por que engana: Confundir as operações de divisibilidade entre polinômios e não aplicar corretamente as propriedades algébricas.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno considera apenas alguns termos do desenvolvimento do determinante e ignora parcelas que contêm m, chegando a -3.

E Erradaerro: Atenção

O aluno obtém o módulo correto, 30, mas troca o sinal do resultado final por confusão entre a condição de resto zero e a troca de sinal do termo independente.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

divisibilidade de polinômios

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

operações com polinômios · divisibilidade de polinômios

📚 Reveja

Estude divisibilidade e operações com polinômios matriciais.

⚠️ Erro mais comum

Confundir as operações de divisibilidade entre polinômios e não aplicar corretamente as propriedades algébricas.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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