O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência. Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região cinza, em função de x e y, é: [FUVEST 2018 - Questão 33] FUVEST - 2018
- A) p + sen(2x) + sen(2y)
- B) p - sen(2x) - sen(2y)
- C) p - cos(2x) - cos(2y)
- D) p - (cos(2x) + cos(2y))/2
- E) p - (sen(2x) + sen(2y))/2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- a diagonal desenhada é um diâmetro da circunferência de raio 1, então mede 2. Ela divide o quadrilátero em dois triângulos que têm o diâmetro como hipotenusa, logo ambos são retângulos, pois estão inscritos em semicircunferências. Passo 2: tome x como o ângulo entre a diagonal e um dos lados do triângulo de cima. Nesse triângulo, a hipotenusa vale 2 e os catetos são 2 cos x e 2 sen x. Sua área é (2 cos x)(2 sen x)/2 = 2 sen x cos x = sen(2x). Analogamente, o triângulo com ângulo y tem área sen(2y). Passo 3: a área do quadrilátero é sen(2x) + sen(2y). Passo 4: a área do círculo é pi vezes raio ao quadrado, ou seja, pi. A região cinza é o círculo menos o quadrilátero, então sua área é pi - sen(2x) - sen(2y), que é a alternativa B. Passo 5: a alternativa A está errada porque soma a área do quadrilátero ao círculo, quando a região cinza deveria ser subtraída. A alternativa C está errada porque usa cosseno onde a área do triângulo exige seno. A alternativa D está errada porque mistura cosseno com divisão por 2, sem justificativa geométrica. A alternativa E está errada porque tomar a hipotenusa como 1 (raio) em vez de 2 (diâmetro) gera a metade da área correta.
💡 Dica: Use propriedades de ângulos inscritos e área de setores circulares.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a região cinza é o círculo somado às áreas dos triângulos, ou erra o sinal ao montar a diferença entre círculo e quadrilátero.
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno calcula a área do triângulo retângulo com cosseno no lugar de seno, ou seja, usa cos(2x) como área, confundindo a fórmula de área com a de um cateto.
Por que engana: Confundir a relação entre os ângulos e a área, aplicando incorretamente as fórmulas de seno e cosseno.
O aluno usa cosseno no lugar de seno e ainda divide cada termo por 2, aplicando uma metade indevida à área de cada triângulo.
O aluno toma a hipotenusa como 1 (o raio) em vez de 2 (o diâmetro), o que faz os catetos valerem cos x e sen x e a área de cada triângulo ficar sen(2x)/2.
Raio-X da questão
área de setores, ângulos inscritos
avaliacao
propriedades de ângulos inscritos · cálculo de áreas de figuras
Revisar propriedades de ângulos inscritos e cálculo de áreas em círculos.
Confundir a relação entre os ângulos e a área, aplicando incorretamente as fórmulas de seno e cosseno.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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