A respeito da matriz A = [ [sen x, cos x], [- sen x, cos x] ], assinale a alternativa correta. (UFPR 2005)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A respeito da matriz A = [ [sen x, cos x], [- sen x, cos x] ], assinale a alternativa correta. (UFPR 2005)
- A) Se x é um número da forma kπ/2, com k inteiro, então a matriz A não tem inversa.
- B) Existe um valor de x para o qual a matriz A é a matriz nula.
- C) Se x = 0, a matriz A é igual à sua transposta.
- D) Se x = π/4, o determinante da matriz A é igual a 0.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante de A. det(A) = sen x * cos x - cos x * (-sen x) = sen x * cos x + sen x * cos x = 2 sen x cos x = sen 2x. Passo 2: Uma matriz quadrada tem inversa se e somente se seu determinante é diferente de zero. Logo, A não tem inversa quando sen 2x = 0, ou seja, 2x = k pi, isto é, x = k pi/2 com k inteiro. Esse é exatamente o enunciado da alternativa A, que está correta. Passo 3: Verifique a alternativa B. A matriz nula exige sen x = 0 e cos x = 0 ao mesmo tempo, o que é impossível, pois sen^2 x + cos^2 x = 1. Portanto B está errada. Passo 4: Verifique a alternativa C. Para x = 0, A = [[0, 1], [0, 1]]. Sua transposta é [[0, 0], [1, 1]], que é diferente de A, então C está errada. Passo 5: Verifique a alternativa D. Para x = pi/4, det(A) = sen(pi/2) = 1, e não 0, então D está errada. Passo 6: Conclusão: o gabarito oficial A está correto e coincide com a resolução feita aqui.
💡 Dica: Analise as propriedades da matriz trigonométrica dada.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A matriz A não tem inversa quando seu determinante é zero, o que ocorre quando x = kπ/2, pois sen x ou cos x se anulam, tornando o determinante zero.
O aluno acredita que basta uma entrada da matriz se anular, ou que existe algum x que zere todos os elementos, sem perceber que sen x e cos x não podem valer zero simultaneamente.
O aluno calcula A para x = 0, obtém [[0, 1], [0, 1]], e confunde a transposta trocando apenas parte dos elementos, ou considera que a matriz é simétrica porque a diagonal tem elementos iguais, sem trocar corretamente linhas por colunas.
O aluno, ao calcular o determinante com x = pi/4, comete erro de sinal na subtração sen x cos x - cos x (-sen x), obtendo sen x cos x - sen x cos x = 0, quando na verdade o resultado é 2 sen x cos x = 1.
Raio-X da questão
matriz trigonométrica propriedades
avaliacao
funcoes trigonométricas basicas · operacoes com matrizes
Estude propriedades básicas de matrizes e funções trigonométricas.
Confundir sinais e propriedades das funções seno e cosseno ao aplicar em matrizes.
pensamento_critico
abstrato
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