A figura ao lado representa um octógono regular com centro sobre a origem do sistema cartesiano. Se o vértice…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura ao lado representa um octógono regular com centro sobre a origem do sistema cartesiano. Se o vértice A desse octógono tem abscissa x = 8 e ordenada y = 6, conclui-se que a ordenada do vértice B é: (UFPR 2020)
- A) 10.
- B) 12.
- C) 2 + 6√2.
- D) 7√2.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como o octógono é regular e tem centro na origem, todos os vértices estão sobre uma circunferência de centro O(0,0). O raio é a distância de O até A(8,6): raiz de (8^2 + 6^2) = raiz de 100 = 10. Passo 2: O ângulo central de um octógono regular é 360/8 = 45 graus. O vértice B é vizinho de A, então, se o ângulo de A com o eixo x é θ, o ângulo de B é θ + 45 graus. Passo 3: Para o vértice A, cos θ = 8/10 = 0,8 e sen θ = 6/10 = 0,6. Passo 4: A ordenada de B é y_B = 10 · sen(θ + 45) = 10 · (sen θ · cos 45 + cos θ · sen 45). Como cos 45 = sen 45 = raiz de 2 / 2, temos y_B = 10 · (0,6 · raiz de 2 / 2 + 0,8 · raiz de 2 / 2) = 10 · 1,4 · raiz de 2 / 2 = 7 · raiz de 2. Passo 5: Conclusão: a ordenada de B é 7√2, alternativa D. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (10) é o raio, que não é a ordenada de B; a alternativa B (12) soma valores sem usar a rotação de 45 graus; a alternativa C (2 + 6√2) vem de um desenvolvimento incorreto da fórmula do seno da soma.
💡 Dica: Use propriedades do octógono regular e coordenadas para calcular a ordenada.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula o raio da circunferência (10) e o toma como a ordenada do vértice B, sem perceber que B está em outra posição do octógono.
O aluno supõe que a ordenada de B é a de A somada com 6, ou seja, trata a ordenada como se crescesse de forma aditiva, sem considerar a rotação de 45 graus.
O aluno tenta usar a fórmula do seno da soma, mas aplica mal os coeficientes (mistura as coordenadas de A com fatores √2 de forma incorreta e esquece de dividir pelo raio), chegando a uma soma com parcela racional.
CORRETA. A ordenada do vértice B é obtida aplicando a rotação de 45° (ângulo central do octógono) ao ponto A, resultando em y = 7√2.
Raio-X da questão
octógono regular coordenadas
avaliacao
sistema cartesiano coordenadas · propriedades polígonos regulares
Estude propriedades de polígonos regulares e sistema cartesiano.
Confundir propriedades do octógono regular ou calcular incorretamente as coordenadas dos vértices.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- Artesãos trabalham há semanas no piso quadriculado de uma praça recém-reformada. Para criar um elemento geométrico…
- Em um plano cartesiano, os pontos de uma praça são A(2, 0), B(8, 0) e D(6, 10). A praça será reduzida com centro na…
- Em proposta de urbanismo para revitalizar uma praça geométrica, foi definido um triângulo cujos vértices no sistema de…
- Sejam A(0,0) e B(6,8). Determine todas as coordenadas inteiras (x,y) tais que o triângulo ABC seja retângulo em C…
- A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos A(0, 1) e P(x, y) são…
- Um octógono regular (n = 8) está inscrito em uma circunferência de centro O. Se A e B são vértices consecutivos…
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog