Sejam A(0,0) e B(6,8). Determine todas as coordenadas inteiras (x,y) tais que o triângulo ABC seja retângulo…

Questão

Sejam A(0,0) e B(6,8). Determine todas as coordenadas inteiras (x,y) tais que o triângulo ABC seja retângulo em C. Apresente todo o procedimento.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cond. de retângulo em C: (A-C)·(B-C)=0 ? (-x,-y)·(6-x,8-y)=0 ? x^2+y^2-6x-8y=0. Completando quadrados: (x-3)^2+(y-4)^2=25. Procurando pontos inteiros na circunferência de centro (3,4) e raio 5 obtemos: (8,4), (-2,4), (3,9), (3,-1). Essas coordenadas tornam (A-C) e (B-C) perpendiculares; excluem A e B.

Explicação

A condição de que o triângulo seja retângulo em C implica que os vetores AC e BC devem ser perpendiculares, o que é representado pelo produto escalar igual a zero. A equação resultante, após simplificação e completamento de quadrados, descreve uma circunferência com centro e raio específicos, permitindo a busca por coordenadas inteiras que satisfaçam essa condição. Os pontos encontrados são aqueles que garantem a perpendicularidade entre os segmentos AC e BC, excluindo os vértices A e B.

Raio-X da questão

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