Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x^2 + y^2 - 8x + 10y + 21 = 0. Qual das…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x^2 + y^2 - 8x + 10y + 21 = 0. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? (UFPR 2020)
- A) (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 15.
- B) (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5.
- C) (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 3.
- D) (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 10.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Completar quadrados na equação de B. x^2 - 8x + y^2 + 10y + 21 = 0 gives (x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 + 21 = 0, so (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 20. Logo, B tem centro O_B = (4, -5) e raio R = raiz de 20 = 2 raiz de 5. Passo 2: Para cada alternativa, identifique centro e raio. A: centro (-1, 2), raio raiz de 15. B: centro (-2, -2), raio raiz de 5. C: centro (3, 1), raio raiz de 3. D: centro (7, 2), raio raiz de 10. Passo 3: Duas circunferências são tangentes quando a distância d entre os centros é igual à soma dos raios (tangência externa) ou à diferença dos raios (tangência interna). Passo 4: Alternativa B. Distância entre (4, -5) e (-2, -2): d = raiz de (36 + 9) = raiz de 45 = 3 raiz de 5. Soma dos raios: 2 raiz de 5 + raiz de 5 = 3 raiz de 5. Como d = soma, as circunferências são tangentes externamente. Passo 5: Alternativa A. Distância entre (4, -5) e (-1, 2): d = raiz de 74, cerca de 8,60. Soma dos raios: raiz de 20 + raiz de 15, cerca de 8,35. Como d é maior que a soma, as circunferências são externas e não se tocam. Passo 6: Alternativa C. Distância entre (4, -5) e (3, 1): d = raiz de 37, cerca de 6,08. Soma dos raios: cerca de 6,20. Como d é menor que a soma e maior que a diferença (cerca de 2,74), as circunferências se cortam em dois pontos e não são tangentes. Passo 7: Alternativa D. Distância entre (4, -5) e (7, 2): d = raiz de 58, cerca de 7,62. Soma dos raios: raiz de 20 + raiz de 10, cerca de 7,63. Como d é menor que a soma, há dois pontos de interseção e não tangência. Passo 8: Conclusão: apenas a alternativa B descreve uma circunferência tangente a B, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula da distância entre centros e propriedades de tangência entre circunferências.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou ao completar quadrados e extrair o centro, obtendo (-1, 2) em vez de (4, -5), e por isso calculou uma distância entre centros que não corresponde à de B.
CORRETA. A circunferência dada tem centro e raio tais que a distância entre os centros é igual à soma dos raios, caracterizando tangência externa com a circunferência B.
O aluno pode ter achado que a distância entre centros, cerca de 6,08, é suficientemente próxima da soma dos raios, cerca de 6,20, e concluiu tangência por aproximação. Ele confunde tangência, que exige igualdade exata, com circunferências que apenas se cortam.
O aluno provavelmente comparou valores aproximados, distância cerca de 7,62 e soma dos raios cerca de 7,63, e tomou a proximidade por igualdade. Não verificou que a tangência exige igualdade exata, que aqui não ocorre.
Raio-X da questão
circunferência tangente equação
avaliacao
equação da circunferência · distância entre pontos
Estude equação da circunferência e condições de tangência entre circunferências.
Confundir a condição de tangência com interseção ou não considerar o raio corretamente.
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- O plano cartesiano abaixo contém duas circunferências tangentes, F e B. Considere que a equação de F é x^2 + y^2 = 4 e…
- Considere a circunferência C de equação x² + y² - 8x + 8 = 0, representada graficamente a seguir. Determine as equações…
- No sistema de coordenadas cartesianas usual, a equação x² + y² - 6x - 8y = 0 representa uma circunferência. Se O é o…
- Considere uma circunferência de centro na origem e raio 7. A reta de equação y=0 passa pelo centro da circunferência…
- No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto…
- A circunferência dada pela equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog