Considere a circunferência C de equação x² + y² - 8x + 8 = 0, representada graficamente a seguir. Determine as…

Questão

Considere a circunferência C de equação x² + y² - 8x + 8 = 0, representada graficamente a seguir. Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e são tangentes à circunferência. Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e são tangentes à circunferência. (UERJ 2017)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A equação reduzida da reta que passa pela origem corresponde a y = mx. Substituindo y na equação de C, tem-se: x² + m²x² - 8x + 8 = 0 ? (1 + m²) x² - 8x + 8 = 0. Se a reta é tangente à circunferência, essa equação tem uma raiz dupla: ? = 0 ? 64 - 4(1 + m²)8 = 0 ? 32 - 32m² = 0 ? m = ± 1. Logo, as retas r e s são respectivamente y = x e y = - x.

Explicação

Completar o quadrado para encontrar o centro e o raio da circunferência, assumir a equação da reta na forma y = mx, substituir na equação da circunferência e aplicar a condição de tangência para encontrar os valores de m.

Raio-X da questão

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