MatemáticaUFPRBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula: Q = 15 * (1/10)^(2t), sendo Q medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo t em função da quantidade de medicamento Q é: (UFPR 2017)

A) t = log sqrt(15/Q)
B) t = (log 15) / (2 log Q)
C) t = 10 * sqrt(log(Q/15))
D) t = 1/2 log(Q/15)

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

Isolar a exponencial. Dividindo os dois lados da fórmula por 15, obtemos Q/15 = (1/10)^(2t). Passo 2: Reescrever a base como potência de 10. Como 1/10 = 10^(-1), temos (1/10)^(2t) = 10^(-2t), logo Q/15 = 10^(-2t). Passo 3: Aplicar logaritmo decimal (log na base 10, que é a convenção usual no ensino médio) nos dois lados. Como log de 10^(-2t) é -2t, temos log(Q/15) = -2t. Passo 4: Isolar t. Dividindo por -2, t = -(1/2) log(Q/15). Pela propriedade log(1/x) = -log(x), isso equivale a t = (1/2) log(15/Q). Passo 5: Como (1/2) log(y) = log(raiz quadrada de y), obtemos t = log(raiz quadrada de 15/Q), que é exatamente a alternativa A. Verificação: para Q = 15 (instante inicial, t = 0), a expressão dá log(raiz de 1) = log 1 = 0, o que é coerente. Por que as outras estão erradas: B confunde log de quociente com quociente de logs e divide log 15 por log Q, o que não corresponde a nenhuma propriedade dos logaritmos; C inverte a operação, tratando t como raiz quadrada de um logaritmo, quando a variável está no expoente e deve ser isolada por logaritmo; D esquece o sinal negativo que surge ao escrever 1/10 como 10^(-1), o que inverte o sinal de t. O gabarito oficial (A) está correto.

💡 Dica: Isolar t usando propriedades de logaritmos na equação dada.

Alternativa por alternativa

A Correta

CORRETA. Aplicando logaritmo na equação Q = 15 * (1/10)^(2t), isolando t e usando propriedades de logaritmos, obtém-se t = log sqrt(15/Q).

B Erradaerro: Procedimental

O aluno tenta aplicar logaritmo diretamente na equação sem isolar corretamente o expoente, e trata log(15/Q) ou logs de forma errada, dividindo log 15 por 2 log Q como se fosse uma propriedade válida.

C Erradaerro: Conceitual

O aluno confunde a operação inversa da exponencial e acha que t é obtido extraindo raiz quadrada e multiplicando por 10, como se a variável estivesse na base, e não no expoente.

D Erradaerro: Atenção

O aluno aplica corretamente o logaritmo e chega a log(Q/15) = 2t, mas esquece o sinal negativo que vem de (1/10)^(2t) = 10^(-2t), e por isso o sinal de t fica invertido.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

função exponencial e logaritmos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função exponencial · propriedades de logaritmos

📚 Reveja

Estude propriedades de logaritmos e funções exponenciais.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a base da potência ou esquecer de aplicar logaritmo para isolar a variável t.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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