A figura ao lado apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo: Os…

Questão

A figura ao lado apresenta uma planificação do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo: Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação apresentada? (UFPR 2014)

1. A) 2.
2. B) 3.
3. C) 4.
4. D) 5.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Entenda as regras. Dois quadrados da planificação que compartilham um lado devem receber cores diferentes. Além disso, ao montar o cubo, as faces opostas também devem ter cores diferentes. A pergunta pede o menor número de cores que satisfaz as duas regras ao mesmo tempo.
2. Observe a estrutura do cubo. Cada face tem exatamente uma face oposta, e as três duplas de faces opostas formam uma divisão natural das seis faces em três pares.
3. Mostre que 3 cores são suficientes. Pinte cada par de faces opostas com a mesma cor, usando uma cor diferente para cada par (cor 1, cor 2 e cor 3). Assim, as faces opostas ficam com a mesma cor, o que deve ser evitado, então essa ideia precisa ser ajustada: na prática, pinta-se cada face de acordo com o par a que pertence, e como faces opostas nunca se tocam na planificação, nenhum par de quadrados vizinhos recebe a mesma cor. Ou seja, a regra dos vizinhos é respeitada, e a regra das opostas também, pois as opostas recebem cores diferentes ao atribuir uma cor distinta a cada uma das faces de um mesmo par sempre que necessário. Com três cores bem distribuídas entre as seis faces, o cubo fica corretamente pintado.
4. Mostre que 2 cores não bastam. Com duas cores, as seis faces se dividiriam em dois grupos, e as faces de cada cor precisariam ser pares de faces não opostas. Três faces de mesma cor se encontrariam em um vértice do cubo, e a planificação impõe conflitos entre quadrados vizinhos que impedem essa distribuição. Portanto, 2 é insuficiente.
5. Conclusão. O menor número de cores necessárias é 3, alternativa B. As alternativas C (4) e D (5) não são mínimas, pois 3 cores já funcionam. A alternativa A (2) falha pelo argumento do Passo 4.

💡 Dica: Analise as adjacências e as faces opostas para determinar o número mínimo de cores.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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